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Exercice

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Le sujet


Soit A l'ensemble des entiers naturels de l'intervalle [1; 46].
  • 1. On considère l'équation (E): 23x + 47y = 1 où x et y sont des entiers relatifs.
    • a. Donner une solution particulière ${(x_{0};y_{0})}$ de (E).
    • b. Déterminer l'ensemble des couples (x; y) solutions de (E).
    • c. En déduire qu'il existe un unique entier x appartenant à A tel que 23x ${\equiv}$ 1(47).
  • 2. Soient a et b deux entiers relatifs.
    • a. Montrer que si ab ${\equiv}$ 0(47) alors a ${\equiv}$ 0(47) ou b ${\equiv}$ 0(47).
    • b. En déduire que si a$^2$ ${\equiv}$ 1(47) alors a ${\equiv}$ - 1(47) ou a ${\equiv}$ 1(47).
  • 3.
    • a. Montrer que pour tout entier p de A, il existe un entier relatif q tel que: p . q ${\equiv}$ 1(47).
      Pour la suite, on admet que pour tout entier p de A, il existe un unique entier, noté inv (p), appartenant à A que p . inv (p) ${\equiv}$ 1 (47) .
      Par exemple:
      inv (1) = 1 car 1 x 1 ${\equiv}$ 1 (47), inv (2) = 24 car 2 x 24 ${\equiv}$ 1 (47), inv (3) = 16 car 3 . 16 ${\equiv}$ 1 (47)...
    • b. Quels sont les entiers p de A qui vérifient p = inv(p) ?
    • c. Montrer que 46! ${\equiv}$ -1 (47).

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