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Exercice

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Le sujet

  • Partie A
    On considère l'équation (E) 11x - 26y = 1, où x et y désignent deux nombres entiers relatifs.
    • 1. Vérifier que le couple (-7; -3) est solution de (E).
    • 2. Résoudre alors l'équation (E).
    • 3. En déduire le couple d'entiers relatifs (u;v) solution de (E) tel que $0\leqslant u\leqslant 25$.
  • Partie B
    On assimile chaque lettre de l'alphabet à un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous:

    A B C D E F G H I J K L M
    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

    N O P K R S T U V W X Y Z
    13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

    On code tout nombre entier x compris entre 0 et 25 de la facon suivante:
    on calcule 11x + 8 ;
    on calcule le reste de la division euclidienne de 11x + 8 par 26, que l'on appelle y.
    x est alors codé par y.
    Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11.
    11 x 11 + 8 = 129; or 129 ${\equiv}$ 25 (modulo 26); 25 est le reste de la division euclidienne de 129 par 26. Au nombre 25 correspond la lettre Z. La lettre L est donc codée par la lettre Z.
    • 1. Coder la lettre W.
    • 2. Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage.
      • a. Montrer que pour tous nombres entiers relatifs x et j, on a:
        11x ${\equiv}$ j (modulo 26) équivaut à x ${\equiv}$ 19j (modulo 26).
      • b. En déduire un procédé de décodage.
      • c. Décoder la lettre W.

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