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Le sujet

EXERCICE 4 (5 points)


$\textbf {Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}$


On dit qu'un entier naturel non nul $N$ est un nombre triangulaire s'il existe un entier naturel $n$ tel que: $N = 1 + 2 + ... + n $.
Par exemple, 10 est un nombre triangulaire car 10 = 1 + 2 + 3 + 4.
Le but de ce problème est de déterminer des nombres triangulaires qui sont les carrés d'un entier.

On rappelle que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a: $$1 + 2 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}$$.
  • Partie A: nombres triangulaires et carrés d'entiers
    • 1. Montrer que 36 est un nombre triangulaire, et qu'il est aussi le carré d'un entier.
    • 2.
      • a. Montrer que le nombre 1 + 2 ... + $n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que: $n^2 + n - 2p^2 = 0$.
      • b. En déduire que le nombre 1 + 2 ... + $n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que: $(2n + 1)^2 - 8p^2 = 1$.

  • Partie B: étude de l'équation diophantienne associée
    On considère (E) l'équation diophantienne $$x^2 - 8y^2 = 1,$$ où $x$ et $y$ désignent deux entiers relatifs.
    • 1. Donner deux couples d'entiers naturels inférieurs à 10 qui sont solution de (E).
    • 2. Démontrer que, si un couple d'entiers relatifs non nuls $(x; y)$ est solution de (E), alors les entiers relatifs $x$ et $y$ sont premiers entre eux.

  • Partie C: lien avec le calcul matriciel
    Soit $x$ et $y$ deux entiers relatifs. On considère la matrice $A = \begin {pmatrix} 3 & 8 \\ 1 & 3 \end {pmatrix}.$

    On définit les entiers relatifs $x'$ et $y'$ par l'égalité: $ \begin {pmatrix} x' \\ y' \end {pmatrix} = A \begin {pmatrix} x \\ y \end {pmatrix}.$
    • 1. Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$.
    • 2. Déterminer la matrice $A^{- 1}$, puis exprimer $x$ et $y$ en fonction de $x'$; $y'$.
    • 3. Démontrer que $(x; y)$ est solution de (E) si et seulement si $(x'; y')$ est solution de (E).
    • 4. On considère les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ définies par $x_0 = 3$, $y_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $ \begin {pmatrix} x_{n + 1}\\ y_{n + 1} \end {pmatrix} = A \begin {pmatrix} x_n \\ y_n \end {pmatrix}.$ On admet que, ainsi définis, les nombres $x_n$ et $y_n$ sont des entiers naturels pour toute valeur de l'entier $n$.
      Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, le couple $(x_n; y_n)$ est sulution de (E).

  • Partie D: retour au problème initial

    A l'aide des parties précédentes, déterminer un nombre triangulaire supérieur à 2015 qui est le carré d'un entier.

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