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Exercice

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Le sujet


Soit p un nombre premier donné. On se propose d'étudier l'existence de couples (x, y) d'entiers naturels strictement positifs vérifiant l'équation: E: x$^2$ + y$^2$ = p$^2$
  • 1. On pose p=2. Montrer que l'équation E est sans solution.
    On suppose désormais p${\neq}$2 et que le couple (x,y) est solution de l'équation E.
  • 2. Le but de cette question est de prouver que x et y sont premiers entre eux.
    • a. Montrer que x et y sont de parités différentes.
    • b. Montrer que x et y ne sont pas divisibles par p.
    • c. En déduire que x et y sont premiers entre eux.
  • 3. On suppose maintenant que p est une somme de deux carrés non nuls, c'est-à-dire: p = u$^2$ + v$^2$ où u et v sont deux entiers naturels strictement positifs.
    • a. Vérifier que le couple (|u$^2$ - v$^2$|; 2uv) est solution de l'équation E.
    • b. Donner une solution de l'équation E lorsque p = 5 puis lorsque p = 13.
  • 4. On se propose enfin de vérifier sur deux exemples, que l'équation E est impossible lorsque p n'est pas somme de deux carrés.
    • a. p = 3 et p = 7 sont-ils somme de deux carrés ?
    • b. Démontrer que les équations x$^2$ + y$^2$ = 9 et x$^2$ + y$^2$ = 49 n'admettent pas de solution en entiers naturels strictement positifs.

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