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Exercice

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Le sujet


Un astronome a observé au jour ${J_{0}}$ le corps céleste A, qui apparapériodiquement tous les 105 jours. Six jours plus tard ${(J_{0}+6)}$ , il observe le corps B, dont la période d'apparition est de 81 jours. On appelle ${J_{1}}$ le jour de la prochaine apparition simultanée des deux objets aux yeux de l'astronome.
Le but de cet exercice est de déterminer la date de ce jour ${J_{1}}$ .
  • 1. Soient u et v le nombre de périodes effectuées respectivement par A et B entre ${J_{0}}$ et ${J_{1}}$ .
    Montrer que le couple (u; v ) est solution de l'équation ${E_{1}}$ : 35x - 27y = 2.
  • 2.
    • a. Déterminer un couple d'entiers relatifs ${(x_{0};y_{0})}$ solution particulière de l'équation ${E_{2}}$ 35x - 27y = 1.
    • b. En déduire une solution particulière ${(u_{0};v_{0})}$ de ${E_{1}}$ .
    • c. Déterminer toutes les solutions de l'équation ${E_{1}}$ .
    • d. Déterminer la solution (u ; v ) permettant de déterminer ${J_{1}}$ ?
  • 3.
    • a. Combien de jours s 'écouleront entre ${J_{0}\mathit{et}J_{1}}$ ?
    • b. Le jour ${J_{0}}$ était le mardi 7 décembre 1999, quelle est la date exacte du jour ${J_{1}}$ ? (l'année 2000 était bissextile).
    • c. Si l'astronome manque ce futur rendez-vous, combien de jours devra-t-il attendre jusqu'à la prochaine conjonction des deux astres ?

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