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Le sujet

EXERCICE 4 (5 points)


$\textbf {Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}$



Dans cet exercice, on s'intéresse aux triplets d'entiers naturels non nuls $(x, y, z)$ tels que $$x^2 + y^2 = z^2.$$
Ces triplets seront nommés "triplets pythagoriciens" en référence aux triangles rectangles dont ils mesurent les côtés, et notés en abrégé "TP".
Ainsi (3, 4, 5) est un TP car $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
  • Partie A: généralités

    • 1. Démontrer que, si $(x, y, z)$ est un TP, et $p$ un entier naturel non nul, alors le triplet $(px, py, pz)$ est lui aussi un TP.
    • 2. Démontrer que, si $(x, y, z)$ est un TP, alors les entiers naturels $x, y$ et $z$ ne peuvent pas être tous les trois impairs.
    • 3. Pour cette question, on admet que tout entier naturel non nul $n$ peut s'écrire d'une façon unique sous la forme du produit d'une puissance de 2 par un entier impair:
      $n = 2^\alpha$ x $k$ où $\alpha$ est un entier naturel (éventuellement nul) et $k$ un entier naturel impair.
      L'écriture $n = 2^\alpha$ x $k$ est nommée $\textit{décomposition}$ de $n$.
      Voici par exemple les $\textit{décompositions}$ des entiers 9 et 120: 9 = $2^0$ x 9,
      120 = $2^3$ x 15.
      • a. Donner la décomposition de l'entier 192.
        • b. Soient $x$ et $z$ deux entiers naturels non nuls, dont les décompositions sont
          $x = 2^\alpha$ x $k$ et $z = 2^\beta$ x $m$.
          Ecrire la $\textit{décomposition}$ des entiers naturels $2x^2$ et $z^2$.
        • c. En examinant l'exposant de 2 dans la $\textit{décomposition}$ de $2x^2$ et dans celle de $z^2$, montrer qu'il n'existe pas de couple d'entiers naturels non nuls $(x, z)$ tels que $2x^2 = z^2$.
          On admet que la question $\textbf{A - 3.}$ permet d'établir que les trois entiers naturels $x, y$ et $z$ sont deux à deux dictincts. Comme de plus les entiers naturels $x, y$ jouent un rôle symétrique, dans la suite, pour tout TP $(x, y, z)$, les trois entiers naturels $x, y$ et $z$ seront rangés dans l'ordre suivant: $$x < y < z$$.

    • Partie B: recherche de triplets pythagoriciens contenant l'entier 2015

      • 1. Décomposer en produit de facteurs premiers l'entier 2015 puis, en utilisant le TP donné dans le préambule, déterminer un TP de la forme $(x, y, 2015)$.
      • 2. On admet que, pour tout entier naturel $n$,
        $(2n + 1)^2 + (2n^2 + 2n)^2 = (2n^2 + 2n + 1)^2$.
        Déterminer un TP de la forme (2015, $y, z$).
      • 3.
        • a. En remarquant que $403^2$ = 169 x 961, déterminer un couple d'entiers naturels non nuls $(x, z)$ tels que $z^2 - x^2 = 403^2$, avec $x$ <403.
        • b. En déduire un TP de la forme ($x$, 2015, $z$).

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