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Le sujet

EXERCICE 5 (5 points)


$\textbf {Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}$



On considère la matrice $ A = \begin{pmatrix} - 4&6\\ - 3&5 \end{pmatrix}$
  • 1. On appelle $I$ la matrice identité d'ordre 2.
    Vérifier que $A^2 = A + 2I$.
  • 2. En déduire une expression de $A^3$ et une expression de $A^4$ sous le forme $\alpha A + \beta I$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels.
  • 3. On considère les suites $(r_n)$ et $(s_n)$ définies par $r_0$ = 0 et $s_0$ = 1 et, pour tout entier naturel $n$,
    $\left\{ \begin{array}{l} r_{n + 1} \; \; = \;\; r_n + s_n \\ s_{n + 1} \; \; = \;\; 2r_n \end{array} \right.$
    Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $A^n = r_nA + s_nI$.
  • 4. Démontrer que la suite $(k_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $k_n = r_n - s_n$ est géométrique de raison - 1.
    En déduire, pour tout entier naturel $n$, une expression explicite de $k_n$ en fonction de $n$.
  • 5. On admet que la suite $(t_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par
    $t_n = r_n + \frac{(- 1)^n}{3}$ est géométrique de raison 2.
    En déduire, pour tout entier naturel $n$, une explication explicite de $t_n$ en fonction de $n$.
  • 6. Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel $n$, une expresssion explicite de $r_n$ et $s_n$ en fonction de $n$.
  • 7. En déduire alors, pour tout entier naturel $n$, une expression des coefficients de la matrice $A^n$.

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