$\textbf {Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}$
On considère la matrice
$ A = \begin{pmatrix}
- 4&6\\
- 3&5
\end{pmatrix}$
1.
On appelle $I$ la matrice identité d'ordre 2.
Vérifier que $A^2 = A + 2I$.
2.
En déduire une expression de $A^3$ et une expression de $A^4$ sous le forme $\alpha A + \beta I$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels.
3.
On considère les suites $(r_n)$ et $(s_n)$ définies par $r_0$ = 0 et $s_0$ = 1 et, pour tout entier naturel $n$,
$\left\{
\begin{array}{l}
r_{n + 1} \; \; = \;\; r_n + s_n \\
s_{n + 1} \; \; = \;\; 2r_n
\end{array}
\right.$
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $A^n = r_nA + s_nI$.
4.
Démontrer que la suite $(k_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $k_n = r_n - s_n$ est géométrique de raison - 1.
En déduire, pour tout entier naturel $n$, une expression explicite de $k_n$ en fonction de $n$.
5.
On admet que la suite $(t_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par
$t_n = r_n + \frac{(- 1)^n}{3}$ est géométrique de raison 2.
En déduire, pour tout entier naturel $n$, une explication explicite de $t_n$ en fonction de $n$.
6.
Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel $n$, une expresssion explicite de $r_n$ et $s_n$ en fonction de $n$.
7.
En déduire alors, pour tout entier naturel $n$, une expression des coefficients de la matrice $A^n$.