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Le sujet

EXERCICE 4 (5 points)


$\textbf {Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}$

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on appelle $S(n)$ le nombre égal à la somme des diviseurs positifs de $n$.
  • 1. Vérifier que $S$(6) = 12 et calculer $S$(7).
  • 2.
    • a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, $S$($n$) $\geqslant$ 1 + $n$.
    • b. Quels sont les entiers naturels $n$ tels que $S$($n$) = 1 + $n$ ?
  • 3. On suppose dans cette question que $n$ s'écrit $p \times q$ où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts.
    • a. Démontrer que $S$($n$) = (1 + $p$)(1 + $q$).
    • b. On considère la proposition suivante:
      "pour tous entiers naturels $n$ et $m$ non nuls distincts,
      $S(n \times m) = S(n)= \times S(m)$".
      Cette proposition est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
  • 4. On suppose dans cette question que l'entier $n$ s'écrit $p^k$, où $p$est un nombre premier et $k$ un nombre entier naturel non nul.
    • a. Quels sont les diviseurs de $n$ ?
    • b. En déduire que $S(n) = \frac{1 - p^{k + 1}}{1 - p}$.
  • 5. On suppose dans cette question que $n$ s'écrit $p^{13} \times q^7$, où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts.
    • a. Soit $m$ un entier naturel.
      Démontrer que $m$ divise $n$ si, et seulement si, il existe deux nombres entiers $s$ et $t$ avec $0 \leqslant s \leqslant 13$ et $ 0 \leqslant t \leqslant 7$ tels que $m = p^s \times d^t$.
    • b. Démontrer que $S(n) = \frac{1 - p^{14}}{1 - p} \times \frac{1 - q^8}{1 - q}$.

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