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Le sujet

Exercice 4 (5 points)



Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un volume constant de 2 200 m$_{3}$ d’eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique on crée un courant d’eau entre les deux bassins à l’aide de deux pompes.

On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

$\bullet$ au départ, le bassin A contient 1 100 m$^3$ d’eau et le bassin B contient 1 100 m$^3$ d’eau ;

$\bullet$ tous les jours, 15 % du volume d’eau présent en début de journée dans le bassin B est transféré vers le bassin A ;

$\bullet$ tous les jours, 10 % du volume d’eau présent en début de journée dans le bassin du bassin A est transféré vers le bassin B, et pour des raisons de maintenance, on transfère également 5 m$^3$ du bassin A vers le bassin B.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

$\bullet$ a$_{n}$ le volume d’eau, exprimé en m$^3$ , contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de fonctionnement ;

$\bullet$ b$_{n}$ le volume d’eau, exprimé en m$^3$ , contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de fonctionnement.

On a donc a$_{0}$ = 1100 et b$_{0}$ = 1100.

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante
  • Partie A :
    • 1. Traduire la conservation du volume total d’eau du circuit par une relation liant a$_{n}$ et b$_{n}$.
    • 2. On utilise un tableur pour visualiser l’évolution du volume d’eau dans les bassins.
      Donner les formules à écrire et à recopier vers le bas dans les cellules B3 et C3 permettant d’obtenir la feuille de calcul ci-dessous :
    • 3. Quelles conjectures peut-on faire sur l’évolution du volume d’eau dans chacun des bassins ?
  • Partie B

    On considère la matrice carrée ${M=\left(\begin{matrix}0,9&0,15\\0,1&0,85\end{matrix}\right).}$ et les matrices colonnes ${R=\left(\begin{matrix} {-5}\\{5}\end{matrix}\right).}$ et ${X_{n}=\left(\begin{matrix} {a_{n}}\\{b_{n}}\end{matrix}\right).}$ .

    On admet que, pour tout entier naturel $n$, X$_{n+1}$ = M X$_{n}$ +R.
    • 1. On note ${S=\left(\begin{matrix} {1300}\\{900}\end{matrix}\right).}$ .

      Vérifier que S = MS +R.

      En déduire que, pour tout entier naturel $n$, X$_{n+1}$ −S = M (X$_{n}$ −S). Dans la suite, on admettra que, pour tout entier naturel $n$, X$_{n}$ − S = M$^n$ (X$_{0}$ −S) et que

      ${M^n=\left(\begin{matrix}{0,6+0,4 . 0,75^n}&{0,6-0,6 . 0,75^n}\\{0,4-0,4 . 0,75^n}&{0,4+0,6 . 0,75^n}\end{matrix}\right).}$
    • 2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, ${X_{n}=\left(\begin{matrix}1300-200 . 0,75^n \\ 900+200 . 0,75^n\end{matrix}\right).}$
    • 3. Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3. de la partie A.
    • 4. On considère que le processus est stabilisé lorsque l’entier naturel $n$ vérifie

      1300− a$_{n}$ < 1,5 et b$_{n}$ −900 < 1,5.


      Déterminer le premier jour pour lequel le processus est stabilisé.

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