$\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}$
On donne les matrices $ M = \begin{pmatrix}
1&1&1\\
1&-1&1\\
4&2&1
\end{pmatrix}$ et
$ I = \begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}$.
Partie A
1.
Déterminer la matrice $M^2$. On donne
$ M^3 = \begin{pmatrix}
20&10&11\\
12&2&9\\
42&20&21
\end{pmatrix}$.
2.
Vérifier que $M^3 = M^2 + 8M + 6I$.
3.
En déduire que $M$ est inversible et que $M^{-1} = \frac{1}{6} (M^2 - M - 81)$.
Partie B Etude d'un cas particulier On cherche à déterminer trois nombres entiers $a, b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A(1; 1); B(-1; -1) et C(2; 5).
1.
Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers $a, b$ et $c$ tels que
$ M = \begin{pmatrix}
a\\
b\\
c
\end{pmatrix}$ =
$\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
5
\end{pmatrix}$.
2.
Calculer les nombres $a, b$ et $c$ et vérifier que ces nombres sont des entiers.
Partie C Retour au cas général Les nombres $a, b, c, p, q, r$ sont des entiers.
Dans un repère $\left( O, \vec i, \vec j \right)$, on considère les points A(1; $p$), B(-1;$q$) et C(2; $r$).
On cherche des valeurs de $p, q$ et $r$ pour qu'il existe une parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passant par A, B et C.
1.
Démontrer que si
$\begin{pmatrix}
a\\
b\\
c
\end{pmatrix}$ =
$M^{-1}\begin{pmatrix}
p\\
q\\
r
\end{pmatrix}$.
avec $a, b$ et $c$ entiers, alors
$\left\{
\begin{array}{ccc}
-3p + q + 2r \equiv 0[6]\\
3p - 3q \qquad \equiv 0[6]\\
6p + 2q - 2r \equiv 0[6]
\end {array}
\right.$
2.
En déduire que
$\left\{
\begin{array}{ccc}
q - r \equiv 0[3]\\
p - q \equiv 0[2]
\end {array}
\right.$
3.
Réciproquement, on admet que si
$\left\{
\begin{array}{ccc}
q - r \equiv 0[3]\\
p - q \equiv 0[2]\\
A, B, C \,ne\, sont\, pas\, alignés
\end {array}
\right.$
alors il existe trois entiers $a, b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A, B et C.
a.
Montrer que les points A, B et C sont alignés si et seulement si $2r + q - 3p = 0$.
b.
On choisit $p = 7$. Déterminer des entiers $q, r, a, b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A, B et C.