EXERCICE 2 (5 points)

• Partie A
  • 1. Déterminer la matrice $M^2$. On donne $ M^3 = \begin{pmatrix} 20&10&11\\ 12&2&9\\ 42&20&21 \end{pmatrix}$.
  • 2. Vérifier que $M^3 = M^2 + 8M + 6I$.
  • 3. En déduire que $M$ est inversible et que $M^{-1} = \frac{1}{6} (M^2 - M - 81)$.
• Partie B Etude d'un cas particulier
  On cherche à déterminer trois nombres entiers $a, b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A(1; 1); B(-1; -1) et C(2; 5).
  • 1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers $a, b$ et $c$ tels que $ M = \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 5 \end{pmatrix}$.
  • 2. Calculer les nombres $a, b$ et $c$ et vérifier que ces nombres sont des entiers.
• Partie C Retour au cas général
  Les nombres $a, b, c, p, q, r$ sont des entiers.
  Dans un repère $\left( O, \vec i, \vec j \right)$, on considère les points A(1; $p$), B(-1;$q$) et C(2; $r$).
  On cherche des valeurs de $p, q$ et $r$ pour qu'il existe une parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passant par A, B et C.
  • 1. Démontrer que si $\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$ = $M^{-1}\begin{pmatrix} p\\ q\\ r \end{pmatrix}$. avec $a, b$ et $c$ entiers, alors $\left\{ \begin{array}{ccc} -3p + q + 2r \equiv 0[6]\\ 3p - 3q \qquad \equiv 0[6]\\ 6p + 2q - 2r \equiv 0[6] \end {array} \right.$
  • 2. En déduire que $\left\{ \begin{array}{ccc} q - r \equiv 0[3]\\ p - q \equiv 0[2] \end {array} \right.$
  • 3. Réciproquement, on admet que si $\left\{ \begin{array}{ccc} q - r \equiv 0[3]\\ p - q \equiv 0[2]\\ A, B, C \,ne\, sont\, pas\, alignés \end {array} \right.$ alors il existe trois entiers $a, b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A, B et C.
    • a. Montrer que les points A, B et C sont alignés si et seulement si $2r + q - 3p = 0$.
    • b. On choisit $p = 7$. Déterminer des entiers $q, r, a, b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A, B et C.