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Exercice

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Le sujet


Une espèce d'oiseaux ne vit que sur deux îles A et B d'un archipel. Au début de l'année 2013, 20 millions d'oiseaux de cette espèce sont présents sur l'île A et 10 millions sur l'île B.
Des observations sur plusieurs années ont permis aux ornithologues d'estimer que, compte tenu des naissances,
décès, et migrations entre les deux on retrouve au début de chaque année les proportions suivantes :
-sur l'île A , 80du nombre d'oiseaux présents sur l'île A au début de l'année précédente et 30 du nombre d'oiseaux présents sur l'île B au début de l'année précédente ;
-sur l'île B , 20du nombre d'oiseaux présents sur l'île A au début de l'année précédente et 70 du nombre d'oiseaux présents sur l'île B au début de l'année précédente .
Pour tout entier naturel n , on note an (respectivement bn ) le nombre d'oiseaux (en millions) présents sur l'île A
(respectivement B) au début de l'année (2013 + n) .
  • Partie A. Algorithme et conjectures
    On donne ci-dessous un algorithme qui doit afficher le nombre d'oiseaux vivant sur chacune des pour chaque
    année comprise entre 2013 et une année choisie par l'utilisateur.
    • 1. Cet algorithme comporte des oublis dans le traitement. Repérer ces oublis et les corriger .
    • 2. On donne ci-après un copie d'écran des résultats obtenus après avoir corrigé l'algorithme précédent dans un
      logiciel d'algorithme, l'utilisateur ayant choisi l'année 2020 .
      Au vu de ces résultats, émettre des conjectures concernant le sens de variation et la convergence des suites
      ( $a_n$) et ( $b_n$ ).
  • Partie B. Etude mathématique
    On note $U_n$ la matrice colonne ${\left(\begin{matrix}a_{n}\\b_{n}\end{matrix}\right).}$
    • 1. Montrer que, pour tout entier naturel n , U$_{n+1}$ = MU$_n$ , où M est une matrice carrée d'ordre 2 que l'on déterminera.
      On admet alors que $U_n = M^n U_0$ pour tout entier naturel n ${\geq}$ 1 .
    • 2. A l'aide d'un raisonnement par récurrence, justifier que, pour tout entier naturel n ${\geq}$ 1 :
      $ {M^{n}=\left(\begin{matrix}0,6+0,4\times 0,5^{n}&0,6-0,6\times 0,5^{n}\\0,4-0,4\times 0,5^{n}&0,4+0,6\times 0,5^{n}\end{matrix}\right).} $ On ne détaillera le calcul que pour le premier des coefficients de la matrice M$^n$ .
    • 3. Exprimer $a_n$ en fonction de n , pour tout entier naturel n ${\geq}$ 1 .
    • 4. Avec ce modèle, peut-on dire qu'au bout d'un grand nombre d'années le nombre d'oiseaux sur l'île A va se stabiliser ? Si oui, préciser vers quelle valeur.

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