1. On considère (E) à résoudre dans $Z : 7x - 5y = 1$.
a. Vérifier que le couple (3 ; 4) est solution de (E).
b. Montrer que le couple d'entiers (x ; y) est solution de (E) si et seulement si $ 7(x-3) = 5(y-4)$.
c. Montrer que les solutions entières
de l’équation (E) sont exactement les couples (x ; y) d'entiers relatifs tels que :
$\begin {cases} {x = 5k + 3} \\ {y = 7k + 4} \end{cases}$ où $k \in Z$
2. Une boîte contient 25 jetons, des rouges, des verts et des blancs. Sur les 25 jetons il y a $x$ jetons rouges et $y$ jetons verts.
Sachant que $ 7x - 5y = 1$, quels peuvent être les nombres de jetons rouges, verts et blancs?
Dans la suite, on supposera qu'il y a 3 jetons rouges et 4 jetons verts.
3. On considère la marche aléatoire
suivante d’un pion
sur un triangle ABC. À chaque étape, on tire au hasard un des jetons parmi les 25, puis on le remet dans la boîte.
Lorsqu'on est en A :
Si le jeton tiré est rouge, le pion va en B. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en A.
Lorsqu'on est en B :
Si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en B.
Lorsqu'on est en C :
Si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en B. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en C.
Au départ, le pion est sur le sommet A.
Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$, $b_n$ et $c_n$ les probabilités que le pion soit respectivement sur les sommets A, B et C à l'étape $n$.
On note $X_n$ la matrice ligne $(a_{n} b_{n} c_{n})$ et $T$ la matrice $\begin{pmatrix} 0,72 & 0,12 & 0,16 \\ 0,12 & 0,72 & 0,16 \\ 0,12 & 0,16 & 0,72 \end{pmatrix}$.
Donner la matrice ligne $X_0$ et montrer que pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = X_{n}T$.
a. À l'aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matrice $P$. On pourra remarquer qu'ils sont entiers.
b. Montrer que $T^{n} = PD^{n}P^{-1}$.
c. Donner sans justification les coefficients de la matrice $D_n$.
On note $\alpha_n$, $\beta_n$ et $\gamma_n$ les coefficients de la première ligne de la matrice $T_n$ ainsi:
$T_{n} = \begin{pmatrix} {\alpha_n} & {\beta_n} & {\gamma_n} \\ ... & ... & ... \\ ... & ... & ... \end{pmatrix}$
On admet que $\alpha_{n} = \frac {3}{10} + \frac {7}{10} * 0,6^{n}$
et $\beta_{n} = \frac {37 - 77 * 0,6^{n} + 40 * 0,56^{n}}{110}$.
On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni ceux de la troisième ligne.
5. On rappelle que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n}= X_{0}T^{n}$.
a. Déterminer les nombres $a_n$, $b_n$ à l'aide des coefficients $\alpha_n$ et $\beta_n$. En déduire $c_n$.
b. Déterminer les limites des suites $(a_{n})$, $(b_{n})$ et $(c_{n})$.
c. Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre
d’itérations
de cette marche aléatoire ?
1. Il s'agit de résoudre l'équation diophantienne dans $\mathbb {Z} : 7x - 5y = 1$.
a. (3 ; 4) est solution car $7(3) - 5(4) = 1$.
b. Si (x ; y) est solution alors {7x - 5y = 1 ; 7(3) - 5(4) = 1} $\Leftrightarrow$ {7x - 5y = 7(3) - 5(4)} $\Leftrightarrow$ {7(x - 3) = 5(y - 4)}.
c. Allons plus loin; l'égalité précédente permet de dire que 7 divise 5(y - 4); donc 7 divise (y - 4), car 7 est premier avec 5 et d'après le théorème de Gauss. C'est dire qu'il existe $k$ entiers relatifs tel que y - 4 = 7k, soit y = 7k + 4.
Et alors, 7(x - 3) = 5(7k); d'où x= 5k +3.
Réciproquement, on vérifie 7(5k + 3) - 5(7k+4) = 1.
Toutes les solutions sont donc les couples (5k + 3 ; 7k + 4), k entier.
2. Il s'agit de déterminer x et y selon les valeurs de $k$ admissibles, puis d'en déduire le nombre de jetons blancs:
avec k = 0: x = 3, y = 4 et 25 - 3 - 4 = 18 blancs
avec k = 1: x = 8 (rouges), y = 11 (verts) et 25 - 8 - 11 = 6 blancs
avec k = 2: x = 13, y = 18 et 25 - 13 - 18 < 0: cas rejeté.
Il n'y a de solutions que pour k = 0 ou k = 1.
3. Déterminons la matrice ligne $X_0$:
Au départ le pion est en A, pas en B ni en C; donc $X_{0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
Si au rang $n$, on a: $X_n = \begin{pmatrix} a_n & b_n & c_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac {18}{25} & \frac {3}{25} & \frac {4}{25} \end{pmatrix}$, alors au rang $(n + 1)$ on a encore; $\begin{pmatrix} 0,72 & 0,12 & 0,16 \end{pmatrix}$ matrice ligne des probabilités respectivement d'aller en A (tirer un Blanc), d'aller en B (tirer un Rouge), d'aller en C (tirer un Vert).
4.
a. Avec la calculatrice on obtient: $P = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 4 \\ 1 & {-3} & 4 \\ 1 & {-3} & {-7} \end{pmatrix}$.
b. On a l'initialisation $T^0 = PD^{0}P^{-1} = I$.
Si $T^n = PD^{n}P^{-1}$ alors $T^{n+1} = T^{n} . T = (PD^{n}P^{-1})(PD^{1}P^{-1}) = PD^{n}(P^{-1}P)D^{1}P^{-1} = PD^{n}D^{1}P^{-1} = PD^{n+1}P^{-1}$: la propriété est établie par récurrence pour $n$.
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