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Le sujet

EXERCICE 3 (5 points)


$\textbf {Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}$

  • Partie A
    On considère l'équation (E): 15$x$ - 26$k$ = $m$ où $x$ et $k$ désignent des nombres entiers relatifs et $m$ est un paramètre entier non nul.
    • 1. Justifier, en énonçant un théorème, qu'il existe un couple d'entiers relatifs ($u; v$) tel que 15$u$ - 26$v$ = 1.
      Trouver un tel couple.
    • 2. En déduire une solution particulière ($x_0; k_0$) de l'équation (E).
    • 3. Montrer que ($x; k$) est solution de l'équation (E) si et seulement si 15($x - x_0$) - 26($k - k_0$) = 0.
    • 4. Montrer que les solutions de l'équation (E) sont exactement les couples ($x; k$) d'entiers relatifs tels que:
      $\left\{ \begin{array}{l} x = \; \; \; 26q + 7m \\ k = \; \; \; 15q + 4m \end{array} \right.$ , $\; \; \; où q \; \; {\in} \mathbb{Z}$.
  • Partie B
    On fait correspondre à chaque lettre de l'alphabet un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous.
    On définit un système de codage:
    • -- à chaque lettre de l'alphabet, on associe l'entier $x$ correspondant,
    • -- on associe ensuite à $x$ l'entier $y$ qui est le reste de la division euclidienne de 15$x$ + 7 par 26,
    • -- on associe à $y$ la lettre correspondante.
  • Ainsi, par cette méthode, la lettre E est associée à 4, 4 est transformé en 15 et 15 correspond à la lettre P et donc le lettre E est codée par la lettre P.
    • 1. Coder le mot $\textbf{MATHS}$.
    • 2. Soit $x$ le nombre associé à une lettre de l'alphabet à l'aide du tableau initial et $y$ le reste de la division euclidienne de 15$x$ + 7 par 26.
      • a. Montrer alors qu'il existe un entier relatif $k$ tel que 15$x$ - 26$k$ = $y$ - 7.
      • b. En déduire que $x \equiv$ 7$y$ + 3 (mod 26).
      • c. En déduire une description du système de décodage associé au système de codage considéré.
    • 3. Expliquer pourquoi le lettre W dans un message codé sera décodée par la lettre B.
      Décoder le mot WHL.
    • 4. Montrer que, par ce système de codage, deux lettre différentes sont codées par deux lettres différentes.

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