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Le sujet

EXERCICE 4 (5 points)


$\textbf {Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}$



Un fumeur décide d'arrêter de fumer. On choisit d'utiliser la modélisation suivante:
  • $\bullet$ s'il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9;
    $\bullet$ s'il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.
    On appelle $p_n$ la probabilité de ne pas fumer le $n$-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer et $q_n$, la probabilité de fumer le $n$-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer.
    On suppose que $p_0$ = 0 et $q_0$ = 1.
  • 1. Calculer $p_1$ et $q_1$.
  • 2. On utilise un tableur pour automatiser le calcul des termes successifs des suites $(p_n)$ et $(q_n)$. Une copie d'écran de cette feuille de calcul est fournie ci-dessous:
    Dans la colonne A figurent les valeurs de l'entier naturel $n$.
    Quelles formules peut-on écrire dans les cellules B3 et C3 de façon qu'en les recopiant vers le bas, on obtienne respectivement dans les colonnes B et C les termes successifs des suites $(p_n)$ et $(q_n)$?
  • 3. On définit les matrices $M$ et, pour tout entier naturel $n$, $X_n$ par

    $ M = \begin{pmatrix} 0,9&0,4\\ 0,1&0,6 \end{pmatrix}$ et $ X_n = \begin{pmatrix} p_n\\ q_n \end{pmatrix}$.

    On admet que $X_{n + 1} = M$ x $X_n$ et que, pour tout entier naturel $n$,
    $X_n = M^n$ x $X_0$.
    On définit les matrices $A$ et $B$ par $ A = \begin{pmatrix} 0,8&0,8\\ 0,2&0,2 \end{pmatrix}$ et $ B = \begin{pmatrix} 0,2& - 0,8\\ - 0,2&0,8 \end{pmatrix}$
    • a. Démontrer que $M = A + 0,5B$.
    • b. Vérifier que $A^2 = A,$ et que $A$ x $B$ = $B$ x $ A = \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}$.
      On admet dans la suite que, pour tout entier naturel $n$ strictement positif, $A^n = A$ et $B^n = B$.
    • c. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $M^n = A + 0,5^nB$.
    • d. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $p_n = 0,8 - 0,8$ x $0,5^n$.
    • e. A long terme, peut-on affirmer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer?

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