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Exercice

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Le sujet

Exercice 2 (6 points)



Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
$f$ ($x$) = 5e$^{−x}$ −3e$^{−2x}$ + $x$ −3


On note $C$$_{f}$ la représentation graphique de la fonction $f$ et $D$ la droite d’équation $y$ = $x$ − 3 dans un repère orthogonal du plan.
  • Partie A : Positions relatives de $C$$_{f}$ et $D$

    Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par $g$ ($x$) = $f$ ($x$)−($x$ −3).
    • 1. Justifier que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[, $g$ ($x$) > 0.
    • 2. La courbe $C$$_{f}$ et la droite $D$ ont-elles un point commun ? Justifier.
  • Partie B : Étude de la fonction $g$

    On note $M$ le point d’abscisse $x$ de la courbe $C$$_{f}$ , $N$ le point d’abscisse $x$ de la droite $D$ et on s’intéresse à l’évolution de la distance $M$ $N$.
    • 1. Justifier que, pour tout $x$ de l’intervalle [0 ; +∞[, la distance $M$ $N$ est égale à $g$ ($x$).
    • 2. On note $g$′ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l’intervalle [0 ; +∞[. Pour tout $x$ de l’intervalle [0 ; +∞[, calculer $g$′($x$).
    • 3. Montrer que la fonction $g$ possède un maximum sur l’intervalle [0 ; +∞[ que l’on déterminera.
      En donner une interprétation graphique.
  • Partie C : Étude d’une aire

    On considère la fonction $A$ définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

    $A$ ($x$) = $\int^{x}_{0}$ [$f$ ($t$)−($t$ −3)] d$t$
    • 1. Hachurer sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie) le domaine dont l’aire est donnée par $A$ (2).
    • 2. Justifier que la fonction $A$ est croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.
    • 3. Pour tout réel $x$ strictement positif, calculer $A$ ($x$).
    • 4. Existe-t-il une valeur de $x$ telle que $A$ ($x$) = 2 ?

      Annexe 1


      À rendre avec la copie

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