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Sujet


  • Partie A Restitution organisée des connaissances
    On rapppelle que $\lim_{t\to+\infty}\frac{e^t}{t}= +\infty$.
    Démontrer que $\lim_{x\to+\infty}\frac{ln(x)}{x}= 0$.
  • Partie B
    On considère la fonction $f$ définie sur [1; $+\infty$[ par $f(x) = x - \frac{ln(x)}{x}$.
    On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O, $\vec i, \vec j$).
    • 1. Soit $g$ la fonction définie sur [1; $+\infty$[ par $g(x) = x^2 - 1 + ln(x)$.
      Montrer que la fonction $g$ est positive sur [1; $+\infty$[.
    • 2.
      • a. Montrer que, pour tout $x$ de [1; $+\infty$[, $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$.
      • b. En déduire le sens de variation de $f$ sur [1; $+\infty$[.
      • c. Montrer que la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y = x$ est une asymptote à la courbe $\mathscr{C}$.
      • d. Etudier la position de la courbe $\mathscr{C}$ par rapport à la droite $\mathscr{D}$.
    • 3. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, on note respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$ de $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$.
      • a. Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à 2, la distance $M_k N_k$ entre les points $M_k$ et $N_k$ est donnée par $M_k N_k = \frac{ln(k)}{k}$.
      • b. Ecrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$ supérieur ou égal à 2 tel que la distance $M_k N_k$ soit inférieure ou égale à $10^{-2}$.

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