Partie A
Restitution organisée des connaissances
On rapppelle que $\lim_{t\to+\infty}\frac{e^t}{t}= +\infty$.
Démontrer que $\lim_{x\to+\infty}\frac{ln(x)}{x}= 0$.
Partie B On considère la fonction $f$ définie sur [1; $+\infty$[ par $f(x) = x - \frac{ln(x)}{x}$.
On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O, $\vec i, \vec j$).
1.
Soit $g$ la fonction définie sur [1; $+\infty$[ par $g(x) = x^2 - 1 + ln(x)$.
Montrer que la fonction $g$ est positive sur [1; $+\infty$[.
2.
a.
Montrer que, pour tout $x$ de [1; $+\infty$[, $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$.
b.
En déduire le sens de variation de $f$ sur [1; $+\infty$[.
c.
Montrer que la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y = x$ est une asymptote à la courbe $\mathscr{C}$.
d.
Etudier la position de la courbe $\mathscr{C}$ par rapport à la droite $\mathscr{D}$.
3.
Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, on note respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$
de $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$.
a.
Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à 2, la distance $M_k N_k$ entre les points
$M_k$ et $N_k$ est donnée par $M_k N_k = \frac{ln(k)}{k}$.
b.
Ecrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$ supérieur ou égal à 2 tel que la distance $M_k N_k$
soit inférieure ou égale à $10^{-2}$.
Partie A
En posant $ln x = t$ (alors $x = e^t$) pour tout x > 1, on a:
$\lim_{x\to+\infty}\frac{ln x} {x} = lim_{t\to+\infty}\frac{t} {e^t} = 0$, car $lim_{t\to+\infty}\frac{e^t} {t} = +\infty$ (cours) .
Partie B
1.
$\underline {g(x)} = (x^2 - 1) + ln x \underline {\geq 0}$ car $x^2 - 1 \geq 0$ et $ln x \geq 0$ pour tout $x \geq 1$ .
2.
a.
$f$ est définie et dérivable pour tout $x$ dans [1; $+\infty$[, alors
$f'(x) = 1 - \frac{\frac{1} {x} . x - 1 . ln x} {x^2} = \frac{x^2 - 1 + ln x} {x^2} = \frac{g(x)} {x^2}$ .
b.
On déduit $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \geq 1$, car $g(x) \geq 0$ pour tout $x \geq 1$; et $f$ est strictement croissante dans [1; $+\infty$[ .
d.
$f(x) - x = - \frac{ln x} {x} \leq 0$; car $\frac{ln x} {x} \geq 0$ pour tout $x \geq 1$:
donc (C) est en-dessous de (D) sur ]1; +$\infty$[; elles se coupent au point (1; 1).
3.
a.
Les points $M_k$ et $N_k$ ont respectivement pour ordonnées $f(k)$ et k, ayant même abscisse. Alors
$M_k N_k = |f(k) - k| = k - f(k)$ ($\underline{car f(k) - k < 0 si\ k > 1}$ d'après B2d);
donc $M_k N_k = \frac{ln k} {k}$ .
b.
Un algorithme qui incrémente k Tant que $\frac{ln k}{k} > 10^{- 2}$, s'achèvera certainement car
$\lim_{x\to+\infty}\frac{ln x} {x} = 0$ permettra $\frac{ln k} {k} < 10^{-2}$ au bout d'un nombre fini d'étapes.
Voici:
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