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Exercice

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Le sujet

  • Partie A
    On considère la fonction g définie sur [0 ; + ${\infty}$[ par : g(x) = e$^{x}$ - x - 1 .
    • 1. Etudier les variations de la fonction g .
    • 2. Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x .
    • 3. En déduire que pour tout x de [0 ; + ${\infty}$[, e$^{x}$ - x > 0.
  • Partie B
    On considère la fonction $f$ définie sur [0 ; 1] par : ${\mathit{f}(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}-x}.}$
    La courbe C représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée ci- après.


    La figure sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.
    On admet que $f$ est strictement croissante sur [0 ; 1]. .
    • 1. Montrer que pour tout x de [0 ; 1] $f$(x) ${\in}$ [0 ; 1] .
    • 2. Soit (D) la droite d'équation y = x .
      • a. Montrer que pour tout x de [0 ; 1], ${f(x)-x=\frac{(1-x)g(x)}{e^{x}-x}.}$
      • b. Etudier la position relative de la droite (D) et de la courbe C sur [0 ; 1]. .
    • 3.
      • a. Déterminer une primitive de $f$ sur [0 ; 1] .
      • b. Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe C, la droite (D) et les droites d'équations x = 0 et x = 1 .
  • Partie C
    On considère la suite (un) définie par: ${\left\{\begin{matrix}u_{0}=\frac{1}{2} \\u_{n+1}=f(u_{n})\end{matrix}\right.}$, pour tout entier naturel n.
    • 1. Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de
      construction.
    • 2. Montrer que pour tout entier naturel n, ${\frac{1}{2}}$$\leqslant$u$_{n}$$\leqslant$u$_{n+1}$$\leqslant$1.
    • 3. En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite .

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