• Partie A
  On considère la fonction g définie sur [0 ; + ${\infty}$[ par : g(x) = e$^{x}$ - x - 1 .
  • 1. Etudier les variations de la fonction g .
  • 2. Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x .
  • 3. En déduire que pour tout x de [0 ; + ${\infty}$[, e$^{x}$ - x > 0.
• Partie B
  On considère la fonction $f$ définie sur [0 ; 1] par : ${\mathit{f}(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}-x}.}$
  La courbe C représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée ci- après.
  
  
  La figure sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.
  On admet que $f$ est strictement croissante sur [0 ; 1]. .
  • 1. Montrer que pour tout x de [0 ; 1] $f$(x) ${\in}$ [0 ; 1] .
  • 2. Soit (D) la droite d'équation y = x .
    • a. Montrer que pour tout x de [0 ; 1], ${f(x)-x=\frac{(1-x)g(x)}{e^{x}-x}.}$
    • b. Etudier la position relative de la droite (D) et de la courbe C sur [0 ; 1]. .
  • 3.
    • a. Déterminer une primitive de $f$ sur [0 ; 1] .
    • b. Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe C, la droite (D) et les droites d'équations x = 0 et x = 1 .
• Partie C
  On considère la suite (un) définie par: ${\left\{\begin{matrix}u_{0}=\frac{1}{2} \\u_{n+1}=f(u_{n})\end{matrix}\right.}$, pour tout entier naturel n.
  • 1. Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de
    construction.
  • 2. Montrer que pour tout entier naturel n, ${\frac{1}{2}}$$\leqslant$u$_{n}$$\leqslant$u$_{n+1}$$\leqslant$1.
  • 3. En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite .

Corrigé

• Partie A
  • 1. $g$ étant dérivable sur $\textbf{R}$ (somme de 2 fonctions dérivables sur $\textbf{R}$) est dérivable pour $x \geq 0$. $g'(x) = e^x - 1$. On résout $g'(x) \geq 0 \Leftrightarrow e^x \geq 1 \Leftrightarrow x \geq 0$: donc $g$ est strictement croissante sur [0; $+\infty[$.
  • 2. De plus, avec $g(0) = e^0 - 0 - 1 = 0$, on déduit que $g(x) \geq 0$ dans [0; $+\infty[$.
  • 3. Donc $\underline{e^x - x - 1 \geq}$ puis $\underline{e^x - x \geq 1 > 0\ pour\ tout\ x \geq 0}$.
• Partie B
  • 1. $\underline {Avec\ f\ croissante}$, on a: $0 \leq x \leq 1 \Rightarrow f(0) \leq f(x) \leq f(1)$ où $f(0) = \frac{e^0 - 1}{e^0 - 0} = 0$ et $f(1) = \frac{e - 1}{e - 1} = 1$. D'où $0 \leq f(x) \leq 1$ pour tout $x \in [0; 1]$.
  • 2.
    • a. C'est du calcul: $f(x) - x = \frac{e^x - 1}{e^x - x} - x = \frac{e^x - 1 - x(e^x - x)}{e^x - x} = \frac{e^x(1 - x) - 1 + x^2}{e^x - x} = \frac{e^x(1 - x) - (1 - x)(1 + x)}{e^x - x} = \frac{(1 - x)(e^x - x - 1}{e^x - x}$ d'où $f(x) - x = \frac{(1 - x) g(x)}{e^x - x}$, pour tout $x$ dans [0; 1].
    • b. $\underline{Il\ s'agit\ d'étudier\ le\ signe\ de\ f(x) - x}$, sur [0; 1].
      Or dans [0; 1]: 1 - $x \geq$ 0; $g(x) \geq$ 0 (d'après A2) et $e^x - x$ > 0 (d'après A3). On déduit $f(x) - x \geq$ 0 dans [0; 1],
      et C est au-dessus de (D) dans [0; 1].
      Enfin $f$(0) - 0 = 0 et $f$(1) - 1 = 0 (d'après B1); donc C et D sont sécantes en (0; 0) et (1; 1).
  • 3.
    • a. $\underline{f(x) a\ une\ forme\ remarquable}: f(x) = \frac{(e^x - x)'}{(e^x - x)}$ sur [0; 1]; donc une primitive de $f$ est $F(x) = ln (e^x - x)$ avec $e^x - x> 0$ (d'après A3), pour tout $x$ dans [0; 1].
    • b. $\underline{La\ courbe\ étant\ au-dessus\ de\ la\ droite}$ (B2b), l'aire demandée est:
      $\underline{A = \int^1_0 (f(x) - x)dx = \int^1_0 f(x) dx - \int ^1_0 xdx} = [F(x) - {\frac{x^2}{2}}]^1_0 = (F(1) - \frac{1}{2}) - (F(0) - 0)$; soit A = $ln (e - 1)$ (unités d'aire).
• Partie C
  • 1. On place sur C le point d'abscisse $u_0 = \frac{1}{2}$ et d'ordonnée $u_1 = f(u_0)$.
    On reporte $u_1$ sur l'axe des abscisses grâce à la droite ($y = x$).
    On poursuit, en plaçant sur C le point d'abscisse $u_1$ et d'ordonnée $u_2 = f(u_1)$; puis on reporte $u_2$ sur l'axe des abscisses grâce à la droite ($y = x$).
    Et ainsi de suite pour placer sur l'axe des abscisses $u_3$.
  • 2. $\underline{Par\ récurrence\ sur\ n\ entier\ positif}: \frac{1}{2} \leq u_n \leq u_{n + 1} \leq 1$.
    Avec n = 0, $u_0 = \frac{1}{2}$ et $u_1 = f(u_0) = \frac{e^{1/2} - 1}{e^{1/2} - \frac{1}{2}} \approx 0,56$; donc $\frac{1}{2} \leq u_0 \leq u_1 \leq 1$ est vraie.
    Si les inégalités sont vraies dans le futur de la succession des nombres $u_k$, jusqu'à par exemple un rang n, alors avec $f$ croissante sur [0; 1]:
    $f(\frac{1}{2}) \leq f(u_n) \leq f(u_{n+1}) \leq f(1)$; donc 0,56 $\leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 1$; les inégalités sont encores vraies au rang (n+1). On conclut: $\frac{1}{2} \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 1$ pour tout entier $n \geq 0$.
  • 3.
    $\bullet$ De $u_n \leq u_{n+1}$ on déduit:($u_n$) est croissante; de plus $u_n \leq 1$ donc ($u_n$) est majorée.
    Donc ($u_n$) est convergente: $\underline{toute\ suite\ croissante\ et\ majorée,\ converge}$.
    $\bullet$ Sa limite dans [$\frac{1}{2}; 1$] est solution de l'équation $f(x) = x$. D'après B2b, seule 1 est solution dans [$\frac{1}{2}; 1$]: ($u_n$) converge vers 1.
    
    
    $\textbf{A propos de "futur", projection faite dans C2:}$
    $\textbf{le futur ... existe-t-il déjà? Et le passé a-t-il jamais existé?}$
    $\textbf{(attention, ce n'est pas "(...) n'a-t-il jamais existé?")}$
    $\textbf{Plus généralement, le Temps peut-il perdre sa signification.}$
    $\textbf{Il faudrait réfléchir à ces questions en s'appuyant sur}$
    $\textbf{des mots tels que causalité, relativité, entropie, ..., pour rechercher un point de vue.}$