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Le sujet

EXERCICE 4 (6 points)


$\textbf{Commun à tous les candidats}$

  • Partie A
    Soit $u$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $u(x) = ln(x) + x- 3$.
    • 1. Justifier que la fonction $u$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0; +\infty[$.
    • 2. Démontrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ comprise entre 2 et 3.
    • 3. En déduire le signe de $u(x)$ en fonction de $x$.
  • Partie B
    Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par $f(x) = \left( 1 - \frac{1}{x}\right) [ln(x) - 2] + 2$.
    On appelle $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
    • 1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en O.
    • 2.
      • a. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0; +\infty[, f'(x) = \frac{u(x)}{x^2}$ où $u$ est la fonction définie dans la partie A.
      • b. En déduire le sens de variation de la fonction$f$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$.
    • Partie C
      Soit $\mathcal{C'}$ la courbe d'équation $y = ln(x)$.
      • 1. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0; +\infty[$, $f(x) - ln(x) = \frac{2 - ln(x)}{x}$.
        En déduire que les courbes $\mathscr{C}$et $\mathscr{C'}$ on un seul point commun dont on déterminera les coordonnées.
      • 2. On admet que la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par $H (x) = \frac{1}{2}[ln(x)]^2$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par $h(x) = \frac{ln(x)}{x}$.
        Calculer $I = \int^{e^2}_1 \frac{2 - ln x}{x} dx$.
        Interpréter graphiquement ce résultat.

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