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Exercice

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Le sujet


Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle ]0, + ${\infty}$[ par : f(x)=${\frac{1+\ln (x)}{x^{2}}}$ et soit C la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan.
La courbe C est donnée ci-dessous :
  • 1.
    • a. Etudier la limite de $f$ en 0.
    • b. Que vaut ${\underset{x\rightarrow +{\infty}}{\lim }{\frac{\ln (x)}{x}}}$ ? En déduire la limite de la fonction $f$ en + ${\infty}$ .
    • c. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe C .
  • 2.
    • a. On note $f$' la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 ; + ${\infty}$[ .
      Démontrer que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; + ${\infty}$[ : ${f'(x)=\frac{-1-2\ln (x)}{x^{3}}}$ .
    • b. Résoudre sur l'intervalle ]0 ; + ${\infty}$[ l'inéquation - 1 - 2 ln (x) > 0 .
      En déduire le signe de $f$'(x) sur l'intervalle ]0 ; + ${\infty}$[ .
    • c. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
  • 3.
    • a. Démontrer que la courbe C a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.
    • b. En déduire le signe de $f$(x) sur l'intervalle ]0 ; + ${\infty}$[ .
  • 4. Pour tout entier n ${\geq}$ 1, on note In l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe C et les droites d'équations respectives ${x=\frac{1}{e}}$ et x = n .
    • a. Démontrer que 0$\leqslant$I$_{2}$$\leqslant$e-${\frac{1}{2}}$ .
      On admet que la fonction F, définie sur l'intervalle ]0 ; + ${\infty}$[ par : ${F(x)=\frac{-2-\ln (x)}{x}}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 ; + ${\infty}$[ .
    • b. Calculer In en fonction de n.
    • c. Etudier la limite de I$_n$ en + ${\infty}$ . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

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