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Exercice

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Le sujet

  • 1. Soit $f$ la fonction définie sur [0 ; + ${\infty}$[ par : $f$(x) = xe$^x$ - 1 .
    • a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en + ${\infty}$ et étudier le sens de variation de $f$ .
    • b. Démontrer que l'équation $f$(x) = 0 admet une unique solution $\alpha $ sur l'intervalle [0 ; + ${\infty}$[ .Déterminer une valeur
      approchée de $\alpha $ à 10 $^{-2}$ près.
    • c. Déterminer le signe de $f$(x) suivant les valeurs de x .
  • 2. On note C la courbe représentative de la fonction exponentielle et $\Gamma $ celle de la fonction logarithme népérien
    dans le plan muni d'un repère orthonormé ${(O;\vec{i};\vec{j}).}$
    Les courbes C et $\Gamma $ sont données ci- après .

    Soit x un nombre réel strictement positif. On note M le point de C d'abscisse x et N le point de $\Gamma $ d'abscisse x .
    On rappelle que pour tout réel x strictement positif, e$^x$ > ln (x). .
    • a. Montrer que la longueur MN est minimale lorsque x = $\alpha $ . Donner une valeur approchée de cette longueur
      minimale à 10 $^{-2}$ près.
    • b. En utilisant la question 1. , montrer que ${e^{\alpha }=\frac{1}{\alpha }.}$ En déduire que la tangente à C au point d'abscisse $\alpha $ et la tangente à $\Gamma $ au point d'abscisse $\alpha $ sont parallèles.
  • 3.
    • a. Soit h la fonction définie sur ]0 ; + ${\infty}$[ par h( x) = x ln (x) - x . Montrer que la fonction h est une primitive de la
      fonction logarithme népérien sur ]0 ; + ${\infty}$[ .
    • b. Calculer la valeur exacte , puis une valeur approchée à 10 $^{-2}$ près, de l'aire (exprimée en unités d'aire) de la
      surface hachurée sur la figure ci- avant.

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