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Exercice

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Le sujet

EXERCICE 1 (6 points)


(Enoncé adapté au Nouveau Programme) .

Commun à tous les candidats

Les parties B et C sont indépendantes.

On note $\mathbb{R}$ l’ensemble des nombres réels et on considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$f (x) = xe^{x−1} +1$.


On note $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
  • Partie A: étude de la fonction
    • 1. Déterminer la limite de $f$ en −$\infty$.
      Que peut-on en déduire pour la courbe $C$ ?
    • 2. Déterminer la limite de $f$ en +$\infty$.
    • 3. On admet que $f$ est dérivable sur R, et on note $f′$ sa fonction dérivée.
      Montrer que, pour tout réel $x$, $f′(x) = (x +1)e^{x−1}$ .
    • 4. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et dresser son tableau de variation sur $\mathbb{R}$.
  • Partie B : recherche d’une tangente particulière

    Soit $a$ un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s’il existe une tangente à la courbe $C$ au point d’abscisse $a$, qui passe par l’origine du repère.
    • 1. On appelle $T_{a}$ la tangente à $C$ au point d’abscisse $a$. Donner une équation de $T_{a}$ .
    • 2. Démontrer qu’une tangente à $C$ en un point d’abscisse $a$ strictement positive passe par l’origine du repère si et seulement si $a$ vérifie l’égalité

      $1 − a^{2} e^{a−1} = 0$.
    • 3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation.
      Démontrer que 1 est l’unique solution sur l’intervalle ]0 ; +$\infty$[ de l’équation

      $1 − x^{2}e^{x−1} = 0$.
    • 4. Donner alors une équation de la tangente recherchée.
  • Partie C: calcul d’aire

    Le graphique donné en Annexe 1 représente la courbe $C$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
    • 1. Construire sur ce graphique la droite ∆ d’équation $y = 2x$. On admet que la courbe $C$ est au-dessus de la droite ∆. Hachurer le domaine $D$ limité par la courbe $C$ la droite ∆, la droite d’équation (x = 1) et l’axe des ordonnées.
    • 2.
      • a. On pose $I = \int ^{1} _{0} xe^{x−1} dx$ et soit H la fonction définie H$(x) = (cx + d) e^{x - 1}$ . Déterminer c et d pour que H soit une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $h$ définie par $h(x) = x e^{x - 1}$ .
      • b. En déduire que $I = \frac{1}{e}$.
    • 3. En déduire la valeur exacte (en unités d’aire) de l’aire du domaine $D$.

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