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Le sujet

EXERCICE 1 (6 points)


$\textbf{Commun à tous les candidats}$


Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0; + \infty[$ par $f(x) = lnx$.
Pour tout réel $a$ strictement positif, on définit sur $]0; + \infty[$ la fonction $g_a$ par $g_a(x) = ax^2$.
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\Gamma_a$ celle de la fonction $g_a$ dans un repère du plan. Le but de l'exercice est d'étudier l'intersection des courbes $\mathscr{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs du réel strictement positif $a$.
  • Partie A
    On construit en $\textbf{annexe 1}$ $(\textit{à rendre avec la copie})$ les courbes $\mathscr{C}, \Gamma_{0,05}, \Gamma_{0,1}, \Gamma_{0,19}$ et $\Gamma_{0,4}$.
    • 1. Nommer les différentes courbes sur le graphique. Aucune justification n'est demandée.
    • 2. Utiliser le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d'intersection de $\mathscr{C}, \Gamma_a$ suivant les valeurs (à préciser) du réel $a$.
  • Partie B
    Pour un réel $a$ strictement positif, on considère la fonction $h_a$ définie sur l'intervalle $]0; + \infty[$ par $h_a(x) = lnx - ax^2$
    • 1. Justifier que $x$ est l'abscisse d'un point $M$ appartenent à l'intersection de $\mathscr{C}$ et $\Gamma_a$ si et seulement si $h_a(x) = 0$.
    • 2.
      • a. On admet que la fonction $h_a$ est dérivable sur $]0; + \infty[$, et on note $h'_a$ la dérivée de la fonction $h_a$ sur cet intervalle.
        Le tableau de variation de la fonction $h_a$ est donné ci-dessous.
        Justifier, par le calcul, le signe de $h'_a(x)$ pour $x$ appartenant à $]0; + \infty[$.
      • b. Rappeler la limite de $\frac{ln x}{x}$ en $+\infty$. En déduire la limite de la fonction $h_a$ en $+\infty$.
        On ne demande pas de justifier la limite de $h_a$ en O.
    • 3. Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que $a = 0,1$.
      • a. Justifier que, dans l'intervalle $\left]0; \frac{1}{\sqrt0,2}\right]$, l'équation $h_{0,1}(x) = 0$ admet une unique solution.
        On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l'intervalle $\left]\frac{1}{\sqrt0,2}; +\infty\right[$.
      • b. Quel est le nombre de points d'intersection de $\mathscr{C}$ et $\Gamma_{0,1}$?
    • 4. Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que $a = \frac{1}{2e}$.
      • a. Déterminer la valeur du maximum de $h_{\frac{1}{2e}}$.
      • b. En déduire le nombre de points d'intersection des courbes $\mathscr{C}$ et $\Gamma_{\frac{1}{2e}}$. Justifier.
    • 5. Quelles sont les valeurs de $a$ pour lesquelles $\mathscr{C}$ et $\Gamma_a$ n'ont aucun point d'intersection?
      Justifier.

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