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Exercice

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Le sujet


Dans tout ce qui suit, m désigne un nombre réel quelconque.
  • Partie A
    Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ telle que : $f$(x) = (x + 1) e$^x$ .
    • 1. Calculer la limite de $f$ en + ${\infty}$ et en - ${\infty}$ .
    • 2. On note $f$' la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
      Démontrer que pour tout réel x, $f$'(x) = (x + 2)e$^x$ .
    • 3. Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
  • Partie B
    On définit la fonction gm sur $\mathbb{R}$ par : g$_m$ (x) = x + 1 - me$^x$ .
    On note C$_m$ la courbe de la fonction g$_m$ dans un repère ${(O;\vec{i};\vec{j})}$ du plan.
    • 1.
      • a. Démontrer que g$_m$(x) = 0 si et seulement $f$(x) = m .
      • b. Déduire de la partie A, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe C$_g$ avec l'axe des abscisses en fonction du réel m.
    • 2. On a représenté ci-dessous les courbes C$_0$, C$_e$ et C$_{-e}$ (obtenues en prenant respectivement pour m les valeurs 0, e et - e).

      Identifier chacune de ces courbes sur la figure ci-dessus en justifiant.
    • 3. Etudier la position de la courbe C$_m$ par rapport à la droite D d'équation y = x + 1 suivant les valeurs du réel m.
    • 4.
      • a. On appelle D$_2$ la partie du plan comprise entre les courbes C$_e$ , C$_{-e}$ , l'axe (Oy) et la droite x = 2 . Colorier D$_2$ sur la figure ci-dessus.
      • b. Dans cette question, a désigne un réel positif, Da la partie du plan comprise entre C$_e$ , C$_{-e}$ , l'axe (Oy) et la droite $\Delta $a d'équation x = a. On désigne par A(a) l'aire de cette partie du plan exprimée en unités d'aire.
        Démontrer que pour tout réel a positif A(a) = 2e - 2e$^{1-a}$.
        En déduire la limite de A(a) quand a tend vers + ${\infty}$ .

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