INSCRIS-TOI

Exercice

Notre service «Copy Numeric». Tu dois être inscrit pour y accéder !

Inscris-toi

M'envoyer cet Exo par mail
AutoNotation

Le sujet

Une chaîne, suspendue entre deux points d’accroche de même hauteur peut être modélisée par la représentation graphique d’une fonction g définie sur [−1 ; 1] par :

$g (x) =\frac{1}{2a}.(e^{ax}$+$e^{-ax}$)
où a est un paramètre réel strictement positif. On ne cherchera pas à étudier la fonction $g$ .

On montre en sciences physiques que, pour que cette chaîne ait une tension minimale aux extrémités, il faut et il suffit que le réel a soit une solution strictement positive de l’équation :

$(x −1)e^{2x} −1− x$ = 0.

Dans la suite, on définit sur [0 ; +$\infty$[ la fonction $f$ par $f (x) = (x −1)e^{2x}$ −1− $x$ pour tout réel $x \geqslant$ 0.
  • 1. Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$ . Vérifier que $f′(0)$ = −2 et que
    lim $_{x→+\infty} f′(x)$ = +$\infty$
  • 2. On note $f′′$ la fonction dérivée de $f′$. Vérifier que, pour tout réel $x > 0, f′′(x) = 4x e^{2x}$
  • 3. Montrer que, sur l’intervalle [0 ; +$\infty$[ la fonction $f′$ s’annule pour une unique valeur, notée $x_0$.
  • 4.
    • a. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle [0 ; +$\infty$[, puis montrer que $f (x)$ est négatif pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle [0 ; $x_0$].
    • b. Calculer $f$ (2). En déduire que sur l’intervalle [0 ; +$\infty$[, la fonction $f$ s’annule pour une unique valeur. Si l’on note a cette valeur, déterminer à l’aide de la calculatrice la valeur de a arrondie au centième.
  • 5. On admet sans démonstration que la longueur L de la chaîne est donnée par l’expression
    L = $\int^{1}_{0}(e^{ax}+e^{-ax})dx$

    Calculer la longueur de la chaîne ayant une tension minimale aux extrémités, en prenant 1,2 comme valeur approchée du nombre a.

Notre service «Copy Numeric». Tu dois être inscrit pour y accéder !

Inscris-toi

M'envoyer cet Exo par mail
AutoNotation