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Exercice

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Le sujet


Le plan est rapporté à un repère orthonormal ${(O;\vec{i};\vec{j}).}$
  • 1. Etude d'une fonction $f$
    On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0 ; + ${\infty}$[ par: ${f(x)=\frac{\ln x}{x}.}$
    On note $f$' la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 ; + ${\infty}$[. On note C$f$ la courbe représentative de la
    fonction $f$ dans le repère. La courbe C$f$ est représentée ci- après. (faire la courbe)
    • a. Déterminer les limites de la fonction $f$ en 0 et en + ${\infty}$.
    • b. Calculer la dérivée $f$' de la fonction $f$ .
    • c. En déduire les variations de la fonction $f$.
  • 2. Etude d'une fonction g
    On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ; + ${\infty}$[ par : ${g(x)=\frac{(\ln x)^2}{x}.}$
    On note Cg la courbe représentative de la fonction g dans le repère ${(O;\vec{i},\vec{j}).}$
    • a. Déterminer la limite de g en 0, puis en + ${\infty}$.
      Après l'avoir justifiée, on utilisera la relation ${\frac{(\ln x)^2}{x}=4\frac{(\ln \sqrt{x})^2}{(\sqrt{x})^2}.}$
    • b. Calculer la dérivée g' de la fonction g .
    • c. Dresser le tableau de variations de la fonction g .
  • 3.
    • a. Démontrer que les courbes C$f$ et Cg possèdent deux points communs dont on précisera les coordonnées.
    • b. Etudier les positions relatives des courbes C$f$ et Cg .
    • c. Tracer sur le graphique la courbe Cg .
  • 4. On désigne par A l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan délimitée, d'une part par les courbes C$f$ et Cg , et d'autre part par les droites d'équations respectives x = 1 et x = e .
    En exprimant l'aire A comme différence de deux aires que l'on précisera, calculer l'aire A

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