Pour tout entier naturel $n$, on définit la fonction $f_n$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0; 1] par:
$$f_n(x) = x + e^{n(x - 1)}.$$
On note $\mathscr{C_n}$la représentation graphique de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal.
Quelques-unes des courbes $\mathscr{C_n}$ sont représentées ci-dessous.
Partie A: généralités sur les fonctions $f_n$
1.
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, la fonction $f_n$ est croissante et positive sur l'intervalle [0; 1].
2.
Montrer que les courbes $\mathscr{C_n}$ ont toutes un point commun A, et préciser ses coordonnées.
3.
A l'aide des représentations graphiques, peut-on conjecturer le comportement des coefficients directeurs des tangentes en A aux courbes $\mathscr{C_n}$ pour les grandes valeurs de $n$?
Démontrer cette conjecture.
Partie B: évolution de $f_n(x)$ lorsque $x$ est fixé Soit $x$ un réel fixé de l'intervalle [0; 1]. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = f_n(x)$.
1.
Dans cette question, on suppose que $x = 1$. Etudier la limite éventuelle de la suite $(u_n)$.
2.
Dans cette question, on suppose que $0 \leqslant x < 1$. Etudier la limite éventuelle de la suite $(u_n)$.
Partie C: aire sous les courbes $\mathscr{C_n}$ Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine situé entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C_n}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.
A partir des représentations graphiques, conjecturer la limite de la suite $(A_n)$ lorsque l'entier $n$ tend vers $+ \infty$, puis démontrer cette conjecture.