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Le sujet

EXERCICE 3 (6 points)


$\textbf {Commun à tous les candidats}$


Pour tout entier naturel $n$, on définit la fonction $f_n$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0; 1] par: $$f_n(x) = x + e^{n(x - 1)}.$$
On note $\mathscr{C_n}$la représentation graphique de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal.
Quelques-unes des courbes $\mathscr{C_n}$ sont représentées ci-dessous.
  • Partie A: généralités sur les fonctions $f_n$
    • 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, la fonction $f_n$ est croissante et positive sur l'intervalle [0; 1].
    • 2. Montrer que les courbes $\mathscr{C_n}$ ont toutes un point commun A, et préciser ses coordonnées.
    • 3. A l'aide des représentations graphiques, peut-on conjecturer le comportement des coefficients directeurs des tangentes en A aux courbes $\mathscr{C_n}$ pour les grandes valeurs de $n$?
      Démontrer cette conjecture.

  • Partie B: évolution de $f_n(x)$ lorsque $x$ est fixé
    Soit $x$ un réel fixé de l'intervalle [0; 1]. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = f_n(x)$.
    • 1. Dans cette question, on suppose que $x = 1$. Etudier la limite éventuelle de la suite $(u_n)$.
    • 2. Dans cette question, on suppose que $0 \leqslant x < 1$. Etudier la limite éventuelle de la suite $(u_n)$.
  • Partie C: aire sous les courbes $\mathscr{C_n}$
    Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine situé entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C_n}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.
    A partir des représentations graphiques, conjecturer la limite de la suite $(A_n)$ lorsque l'entier $n$ tend vers $+ \infty$, puis démontrer cette conjecture.

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