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Exercice

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Le sujet


Soient $f$ et g les fonctions définies sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels par :
$f$(x) = xe$^{x+1}$
et g(x) = x$^{2}$ e$^{1-x}$ .
Les courbes représentatives des fonctions $f$ et g dans un repère orthogonal ${(O;\vec{i};\vec{j})}$ sont respectivement notées C et C '. Leurs tracés sont donnés ci- après .

  • 1. Etude des fonctions $f$ et g
    • a. Déterminer les limites des fonctions $f$ et g en - ${\infty}$ .
    • b. Justifier le fait que les fonctions $f$ et g ont pour limite 0 en + ${\infty}$ .
    • c. Etudier le sens de variation de chacune des fonctions $f$ et g, et dresser leurs tableaux de variations respectifs.
  • 2. Calcul d'intégrales
    Pour tout entier naturel n, on définit l'intégrale I$_n$ par : ${I_{0}=\int _{0}^{1}e^{1-x}\ \mathit{dx}}$ et, si n ${\geq}$ 1, ${I_{n}=\int _{0}^{1}x^{n}e^{1-x}\ \mathit{dx}.}$
    • a. Calculer la valeur exacte de I$_0$ .
    • b. On admettra que pour tout entier naturel n : I$_{n+1}$ = - 1 + (n + 1) I$_n$ . En déduire la valeur exacte de I$_1$ , puis celle de I$_2$ .
  • 3. Calcul d'une aire plane
    • a. Etudier la position relative des courbes C et C '.
    • b. On désigne par A l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise, d'une part entre les courbes C
      et C ', d'autre part entre les droites d'équations respectives x = 0 et x = 1 .
      En exprimant A comme différence de deux aires que l'on précisera, démontrer l'égalité: A = 3 - e .
  • 4. Etude de l'égalité de deux aires
    Soit a un réel strictement supérieur à 1 . On désigne par S(a) l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan
    comprise d'une part entre les courbes C et C', d'autre part entre les droites d'équations respectives x = 0 et x = a .
    On admet que S (a ) s'exprime par : S(a) = 3 - e$^{1 - a}$ (a$^2$ + a + 1).
    L'objectif de cette question est de prouver qu'il existe une et une seule valeur de a pour laquelle les aires A et S(a ) sont égales .
    • a. Démontrer que l'équation S(a) = A est équivalente à l'équation : e$^a$ = a$^2$ + a + 1 . .
    • b. Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera
      prise en compte dans l'évaluation.
      Conclure, quant à l'existence et l'unicité du réel a,solution du problème posé .

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