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Exercice

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Le sujet

Enoncé

On considère l’équation (E) d’inconnue $x$ réelle : $e^x = 3 (x^2 + 3x^3)$.
  • Partie A.
    Conjecture graphique
    Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3 (x^2 + 3x^3)$ telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.

    À l’aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l’équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs.
    • Partie B.
      Etude de la validité de la conjecture graphique
      • 1.
        • a. Etudier selon les valeurs de $x$, le signe de $x^2 + x^3$.
        • b. En déduire que l'équation (E) n'a pas de solution sur l'intervalle ]- $\infty$; - 1].
        • c. Vérifier que 0 n'est pas solution de (E).
      • 2. On considère la fonction $h$, définie pour tout nombre réel de $]- 1; 0 [\cup ]0; + \infty[$ par:
        $h(x) = ln 3 + ln (x^2) + ln (1 + x) - x$.
        Montrer que, sur $]- 1; 0 [\cup ]0; + \infty[$, l'équation (E) équivaut à $h(x) = 0$.
    • 2.
      • a.
        Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $]- 1; 0 [\cup ]0; + \infty[$, on a:
        $h(x) = \frac{- x^2 + 2x + 2}{x (x + 1)}$ .
      • b. Déterminer les variations de la fonction $h$.
      • c. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $h(x) = 0$ et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution.
      • d. Conclure quant à la conjecture de la partie A.

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