Partie A. Conjecture graphique
Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction $f$
définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3 (x^2 + 3x^3)$ telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.
À l’aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l’équation (E) et leur encadrement par
deux entiers consécutifs.
Partie B. Etude de la validité de la conjecture graphique
1.
a.
Etudier selon les valeurs de $x$, le signe de $x^2 + x^3$.
b.
En déduire que l'équation (E) n'a pas de solution sur l'intervalle ]- $\infty$; - 1].
c.
Vérifier que 0 n'est pas solution de (E).
2.
On considère la fonction $h$, définie pour tout nombre réel de $]- 1; 0 [\cup ]0; + \infty[$ par:
$h(x) = ln 3 + ln (x^2) + ln (1 + x) - x$.
Montrer que, sur $]- 1; 0 [\cup ]0; + \infty[$, l'équation (E) équivaut à $h(x) = 0$.
2.
a. Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $]- 1; 0 [\cup ]0; + \infty[$, on a:
$h(x) = \frac{- x^2 + 2x + 2}{x (x + 1)}$ .
b.
Déterminer les variations de la fonction $h$.
c.
Déterminer le nombre de solutions de l'équation $h(x) = 0$ et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution.
Partie A.
Les solutions de(E) sont les abscisses des points d'intersection des 2 courbes données dans le graphique. Il semble qu'il y ait 2 points d'intersection, 2 solutions: l'une $x_1$ telle que $ - 1 < x_1 < 0$,
l'autre $x_2$ telle que $ 0 < x_2 < 1$.
Partie B.
1.
a.
Avec $x^2 + x^3 = x^2 (1 + x)$, on déduit: $x^2 + x^3 \geq 0$ équivaut à $x + 1 \geq 0$ soit $x \geq - 1$.
Donc, aussi, $x^2 + x^3 \leq 0$ équivaut à $ x \leq - 1$.
b.
De $x^2 + x^3 \leq 0$ dans $] - \infty; - 1]$, on déduit que l'équation $e^x = 3(x^2 + x^3)$ n'a pas de solution car
le signe positif de $e^x$ est incompatible avec celui de $x^2 + x^3$.
c.
O n'est pas solution de (E): $e^0 = 1 \neq 3(0^2 + 0^3) = 0$.
a.
h étant définie et dérivable pour tout $x$ dans $]- 1; 0[\cup] 0; +\infty[$, on a:
$h'(x) = \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{1 + x}- 1 ($car$ (ln u)' = \frac{u'}{u})
= \frac{2(1 + x) + x - (1 + x)x}{x(1 + x)} = \frac{- x^2 + 2x + 2}{x(1 + x)}$
= $\frac{x^2 - 2x - 2}{- x(1 + x)}$.
b.
On étudie le signe de $h'(x)$; dans $]- 1; 0[\cup] 0; +\infty[$,
Les zéros de $ + x^2 - 2x - 2$ sont $1 - \sqrt 3$ et $1 + \sqrt3$
(son discriminant étant 4 - 4( + 1)(- 2) = 12,
on a bien $1 + \sqrt3$ qui provient de $\frac{- 2 + \sqrt12}{- 2} = \frac{- 2(1 - \sqrt3)}{- 2})$.
D'où le tableau de signes suivant et de variations de h:
c.
Il s'agit de mettre en œuvre le théorème des valeurs intermédiaires: on complète le tableau de variations de h par
quelques limites et valeurs.
*$h(1 - \sqrt3)$ = - 0,11 < 0 (calculatrice); $h(1 - \sqrt3)$ étant un maximum de h dans ]- 1; 0[ alors h ne peut
s'annuler dans ]- 1; 0[. Donc (E) n'a pas de solution dans ]- 1; 0[.
*$h(1 + \sqrt3) \approx 1,69 > 0$ (calculatrice). De plus, on a:
$\lim_{x\to+0}h(x) = \lim_{x\to+0}(ln x^2) = -\infty$; et $\lim_{x\to+\infty}h(x)
= \lim_{x\to+\infty} x (\frac{ln 3}{x} + 2 \frac{ln x}{x} + \frac{1 + x}{x} . \frac{ln(1 + x)}{1 + x} - 1)
= \lim_{x\to+\infty} (- x)$ (car $\lim_{x\to+\infty}\frac{ln 3}{x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{ln x}{x}
= \lim_{x\to+\infty}\frac{ln (1 + x}{1 + x} = 0$ et $\lim_{x\to+\infty}\frac{x + 1}{x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x}
= 1)$; donc $\lim_{x\to+\infty} h (x) = \lim_{x\to+\infty} (- x) = - \infty$.
Ainsi, sur $]0; 1 + \sqrt3]$, h est croissante et $\lim_{x\to+0}h(x) = - \infty$ et $h(1 + \sqrt3) > 0$: d'après
le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation h($x$) = 0 a une solution unique a dans $] 0; 1 + \sqrt3]$.
De même h($x$) = 0 admet aussi une solution b dans $[1 + \sqrt3; +\infty[$ où h est décroissante.
*Avec la calculatrice, on trouve 0,61 < a < 0,62 et 7,11 < b < 7,12.
4.
Discussion sur la conjecture en A.
*il n'y a pas de solution dans ]-$\infty$; - 1[ (B1b)
*il n'y a pas de solution dans ]- 1; 0[ (B3c)
*il y a 2 solutions dans ]0; $+\infty$[, l'une d'abscisse a conjecturée, l'autre d'abscisse b hors de l'intervalle
de tracés des courbes.
La conjecture A était fausse.
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