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Le sujet

EXERCICE 3 (7 points)


$\textbf {Commun à tous les candidats}$

Soit $a$ un nombre réel fixé non nul.
Le but de cet exercice est d'étudier la suite $(u_n)$ définie par:
$u_0 = a \;\;$ et, pour tout $n$ de $\mathbb {N}, u_{n + 1} = e^{2u_n} - e^{u_n}.$
On remarquera que cette égalité peut aussi s'écrire: $u_{n + 1} = e^{u_n} (e^{u_n}- 1)$.
  • 1. Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par: $$g(x) = e^{2x} - e^x - x$$.
    • a. Calculer $g'(x)$ et prouver que, pour tout réel $x: g'(x) = (e^x - 1)(2e^x + 1)$.
    • b. Déterminer les variations de la fonction $g$ et donner la valeur de son minimum.
    • c. En remarquant que $u_{n + 1} - u_n = g(u_n)$, étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.
  • 2. Dans cette question, on suppose que $a \leqslant 0$.
    • a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, u_n \leqslant 0$.
    • b. Déduire des questions précédentes que la suite $(u_n)$ est convergente.
    • c. Dans le cas où $a$ vaut 0, donner la limite de la suite $(u_n)$.
  • 3. Dans cette question, on suppose que $a>0$.
    La suite $(u_n)$ étant croissante, la question 1. permet d'affirmer que, pour tout entier naturel $n, u_n \geqslant a$.
    • a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_{n + 1} - u_n \geqslant g(a)$.
    • b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a:
      $ u_n \geqslant a + n$ x $ g(a)$.
    • c. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
  • 4. Dans cette question, on prend $a = 0,02$.
    L'algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n > M$, où $M$ désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet.
    • a. Sur la copie, recopier la partie "Traitement" en la complétant.
    • b. A l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si $M$ = 60.

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