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Exercice

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Le sujet


On considère la fonction g définie pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 1] par : g(x) = 1 + e$^{-x}$.
On admet que, pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 1], g(x) ${\geq}$ 0 .
On noteC la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthogonal, et D le domaine plan compris, d'une part entre l'axe des abscisses et la courbe C , d'autre part entre les droites d'équation x = 0 et x = 1 .
La courbe C et le domaine D sont représentés ci-dessous.

Le but de cet exercice est de partager le domaine D en deux domaines de même l'aire, d'abord par une droite parallèle à l'axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l'axe des abscisses (partie B).
  • Partie A
    Soit a un réel tel que 0 ${\leq}$ a ${\leq}$ 1.
    On note A$_1$ l'aire du domaine compris entre la courbeC , l'axe (Ox) et les droites d'équation x = 0 et x = a, puis A$_2$ celle du domaine compris entre la courbe C , l'axe (Ox) et les droites d'équation x = a et x = 1.
    A$_1$ et A$_2$ sont exprimées en unités d'aire.

    • 1.
      • a. Démontrer que A$_1$ = a - e$^{- a + 1}$.
      • b. Exprimer A$_2$ en fonction de a.
    • 2. Soit $f$ la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 1] par : ${f(x)=2x-2e^{-x}+\frac{1}{e}.}$
      • a. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 1]. On précisera les valeurs exactes de $f$(0) et $f$(1).
      • b. Démontrer que la fonction $f$ s'annule une fois et une seule sur l'intervalle [0 ; 1] en un réel $\alpha $. Donner la valeur de $\alpha $ arrondie au centième.
    • 3. En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel a pour lequel les aires A$_1$ et A$_2$ sont égales.
  • Partie B
    Soit b un réel positif.
    Dans cette partie, on se propose de partager le domaine D en deux domaines de même aire par la droite d'équation y = b. On admet qu'il existe un unique réel b positif solution.
    • 1. Justifier l'inégalité ${b<1+\frac{1}{e}.}$
      On pourra utiliser un argument graphique.
    • 2. Déterminer la valeur exacte du réel b.

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