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Exercice

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Le sujet


Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on désigne par $f_{n}$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f_{n} (x) = x^n e^{-x}$ .


On note $C_{n}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal ${(O;\vec{i};\vec{j})}$ du plan.
  • Partie A
    Sur le graphique ci- dessous, on a représenté une courbe $C_{k}$ où k est un entier naturel non nul, sa tangente $T_{k}$ au point d'abscisse 1 et la courbe $C_{3}$.
    La droite $T_{k}$ coupe l'axe des abscisses au point A de coordonnées ${\left(\frac{4}{5};0\right).}$
    • 1.
      • a. Déterminer les limites de la fonction $f_{1}$ en - ${\infty}$ et en + ${\infty}$ .
      • b. Etudier les variations de la fonction $f_{1}$ et dresser le tableau de variations de $f_{1}$ .
      • c. A l'aide du graphique, justifier que $k$ est un entier supérieur ou égale à 2 .
    • 2.
      • a. Démontrer que pour n ${\geq}$ 1, toutes les courbes $C_{n}$ passent par le point O et un autre point dont on donnera les coordonnées.
      • b. Vérifier que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2 , et pour tout réel $x$ ,

        $f'_{n}(x) = x^{n - 1}(n - x)e^{-x}$ .
    • 3. Sur le graphique, la fonction $f$3 semble admettre un maximum, atteint pour $x$=3 .
      Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration.
    • 4.
      • a. Démontrer que la droite $T_{k}$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées ${\left(\frac{k-2}{k-1};0\right).}$
      • b. En déduire, à l'aide des données de l'énoncé, la valeur de l'entier $k$ .
  • PARTIE B
    On désigne par ($I_{n}$) la suite définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 par :

    ${I_{n}=\int _{0}^{1}x^{n}e^{-x}\ \mathit{dx}.}$
    • 1. Calculer ($I_{n}$). On vérifiera d'abord que la fonction $F_{1}$ telle que $F_{1}(x) = ( - 1 - x)e^{- x}$ est une primitive de $f_{1}$ sur $\mathbb{R}$ .
    • 2. Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

      Sur le graphique ci- après, on a représenté les portions des courbes $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$, $C_{10}$, $C_{20}$, $C_{30}$, comprises dans la bande définie par 0 ${\leq}$ x ${\leq}$ 1.
      • a. Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite ($I_{n}$) en décrivant la démarche.
      • b. Démontrer cette conjecture.
      • c. En déduire que la suite ($I_{n}$) est convergente.
      • d. Déterminer ${\underset{n\rightarrow +{\infty}}{\lim }(I_{n}).}$

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