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Le sujet

EXERCICE 3 (3 points)


$\textbf {Commun à tous les candidats}$

On considère la courbe $\mathscr{C}$ d'équation $y = e^x$, tracée ci-dessous.
Pour tout réel $m$ strictement positif, on note $\mathscr{D_m}$ la droite d'équation $y = mx$.
  • 1. Dans cette question, on choisit $m = e$.
    Démontrer que la droite $\mathscr{D_e}$, d'équation $y = ex$, est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en son point d'abscisse 1.
  • 2. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif $m$, le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}$ et de la droite $\mathscr{D_m}$.
  • 3. Démontrer cette conjecture.

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