INSCRIS-TOI

Exercice

Notre service «Copy Numeric». Tu dois être inscrit pour y accéder !

Inscris-toi

M'envoyer cet Exo par mail
AutoNotation

Le sujet

EXERCICE 4 (5 points)



Commun à tous les candidats

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par

$f$ ($x$) = e$^x$ et $g$ ($x$) = 2e$^ \frac{x}{2}$ −1.


On note $C_{f}$ et $C_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal.
  • 1. Démontrer que les courbes $C_{f}$ et $C_{g}$ ont un point commun d’abscisse 0 et qu’en ce point, elles ont la même tangente ∆ dont on déterminera une équation.
  • 2. Étude de la position relative de la courbe $C_{g}$ et de la droite ∆ Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h$($x$) = 2e$^ \frac{x}{2}$ − x −2.
    • a) Déterminer la limite de la fonction h en −∞.
    • b) Justifier que, pour tout réel $x$,$h$($x$) = $x$ $( \frac{e^{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}} - 1 - \frac{2}{x})$.

      En déduire la limite de la fonction h en +∞.
    • c) On note $h$′ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$.
      Pour tout réel $x$, calculer $h$′ ($x$) et étudier le signe de $h$′($x$) suivant les valeurs de $x$.
    • d) Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$.
    • e) En déduire que, pour tout réel x, 2e$^{\frac{x}{2}}$ −1 $\geq$ $x$ +1.
    • f) Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe $C_{g}$ et de la droite ∆ ?
  • 3. Étude de la position relative des courbes $C_{f}$ et $C_{g}$
    • a) Pour tout réel $x$, développer l’expression $(e^{\frac{x}{2}} - 1)^2$ .
    • b) Déterminer la position relative des courbes $C_{f}$ et $C_{g}$ .
  • 4. Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine compris entre les courbes $C_{f}$ et $C_{g}$ et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1.

Notre service «Copy Numeric». Tu dois être inscrit pour y accéder !

Inscris-toi

M'envoyer cet Exo par mail
AutoNotation