EXERCICE 4 (5 points)

• 1. Démontrer que les courbes $C_{f}$ et $C_{g}$ ont un point commun d’abscisse 0 et qu’en ce point, elles ont la même tangente ∆ dont on déterminera une équation.
• 2. Étude de la position relative de la courbe $C_{g}$ et de la droite ∆ Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h$($x$) = 2e$^ \frac{x}{2}$ − x −2.
  • a) Déterminer la limite de la fonction h en −∞.
  • b) Justifier que, pour tout réel $x$,$h$($x$) = $x$ $( \frac{e^{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}} - 1 - \frac{2}{x})$.
    
    En déduire la limite de la fonction h en +∞.
  • c) On note $h$′ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$.
    Pour tout réel $x$, calculer $h$′ ($x$) et étudier le signe de $h$′($x$) suivant les valeurs de $x$.
  • d) Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$.
  • e) En déduire que, pour tout réel x, 2e$^{\frac{x}{2}}$ −1 $\geq$ $x$ +1.
  • f) Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe $C_{g}$ et de la droite ∆ ?

• 3. Étude de la position relative des courbes $C_{f}$ et $C_{g}$
  • a) Pour tout réel $x$, développer l’expression $(e^{\frac{x}{2}} - 1)^2$ .
  • b) Déterminer la position relative des courbes $C_{f}$ et $C_{g}$ .

• 4. Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine compris entre les courbes $C_{f}$ et $C_{g}$ et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1.

Corrigé

• 1.
  * Il s'agit de résoudre l'équation $f(x) = g(x)$, soit:
  $e^x = 2e^{x/2} - 1 \Leftrightarrow ${$e^{x/2} = X; X^2 - 2X + 1 = 0$}$ \Leftrightarrow ${$X = 1; e^{x/2}= 1$} donc $x$ = 0.
  Les courbes admettent un seul point d'intersection de coordonnées (0; 1).
  * Les tangentes en ces points ont pour coefficients directeurs respectifs:
  $f'(x) = e^x$ et $g'(x) = e^{x/2}$, $f'(0) = 1, g'(0) = 1 = f'(0)$.
  Les courbes ont donc même tangente au point (0; 1), d'équation y - 1 = 1($x$- 0),
  soit $y = x + 1$ est une équation de $\Delta$.
  On étudie les positions relatives de $\Delta$ avec la courbe représentant $g$.
• 2.
  • a. $\lim_{x\to-\infty}h(x)= +\infty$, car $\lim_{x\to-\infty}e^{x/2}=0$ et $\lim_{x\to-\infty}(-x-2)= +\infty$.
  • b. Pour tout $x$ réel, on a:
    $x(\frac{e^{x/2}}{\frac{x}{2}}- 1 - \frac{2}{x}) = x(\frac{2}{x})e^{x/2}-x -2=2e^{x/2} -x -2 = h(x)$.
    D'où $\lim_{x\to+\infty}h(x)= \lim x (\frac{e^{x/2}}{x/2})= +\infty$ car $\lim_{X\to+\infty}\frac{e^X}{X}=0$, et $\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}=0$.
  • c. h est dérivable sur $\mathbb{R}$ et l'on a: $h'(x) = 2(\frac{1}{2} e^{x/2}) - 1 = e^{x/2} - 1$. Alors, on résout
    $h'(x) > 0 \Leftrightarrow e^{x/2}>1 \Leftrightarrow \frac{x}{2}>0 \Leftrightarrow x > 0$; h est croissante sur $[0;+\infty[$, décroissante ailleurs.
  • d. On peut dresser le tableau de variations de h, avec h'(0) = 0 = h(0).
  • e. h admet un minimum 0 en 0, et étant continue sur $\mathbb{R}$, on déduit:
    $h(x)\geq 0$ pour tout $(x)$ réel. Donc $2e^{x/2} - x - 2 \geq 0$, ou encore $2e^{x/2} - 1 - x - 1 \geq 0$;
    alors pour tout $x$ réel, $2e^{x/2} - 1 \geq x + 1$.
  • f. Ce qui se traduit par: la courbe représentative de $g$ est au-dessus de la droite $\Delta$.
    (cette question n'est pas digne d'un élève TS !)
• 3.
  • a. $(e^{x/2} - 1)^2 = e^x - 2e^{x/2} +1 = f(x) - g(x) $ (d'après 1).
  • b. Donc $f(x) - g(x) \geq 0$ (car $(e^{x/2} - 1)^2 \geq 0)$: la courbe représentative de $f$ est au-dessus de celle de $g$, sur $\mathbb{R}$.
• 4. L'aire demandée s'écrit: $\int^1_0 (f(x) - g(x)dx = \int^1_0 (e^x - 2e^{x/2} + 1) dx = [e^x - 4e^{x/2} + x ]^1_0$
  $= (e - 4e^{1/2} + 1) - (1 - 4 + 0) = e - 4\sqrt e + 4 \approx 0,123$.