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Le sujet

EXERCICE 4 (5 points)


$\textbf {Commun à tous les candidats}$



Le directeur d'un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le schéma suivant de ce toboggan en perspective cavalière.
Voici ce schéma:
  • Partie A Modélisation
    Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe $\mathscr{C}$ représentant la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1; 8] par
    $f(x) = (ax + b)e^{-x}$ où $a$ et $b$ sont deux entiers naturels.
    La courbe $\mathscr{C}$ est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre.
    • 1. On souhaite que la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en son point d'abscisse 1 soit horizontale.
      Déterminer la valeur de l'entier $b$.
    • 2. On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre 3,5 et 4 mètres de haut.
      Déterminer la valeur de l'entier $a$.

  • Partie B Un aménagement pour les visiteurs
    On admet dans la suite que la fonction $f$ introduite dans la partie A est définie pour tout réel $x \in$ [1; 8] par $$f(x) = 10xe^{- x}.$$
    Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d'exercice. Sur le devis qu'il propose, celui-ci demande un forfait de 300 euros augmenté de 50 euros par mètre carré peint.
    • 1. Soit $g$ la fonction définie sur [1; 8] par $$g(x) = 10(- x - 1)e^{-x}.$$
      Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g$.
    • 2. Quel est le montant du devis de l'artiste ?

  • Partie C Une contrainte à vérifier
    Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan.
    On considère un point $M$ de la courbe $\mathscr{C}$, d'abscisse différente de 1. On appelle $\alpha$ l'angle aigu formé par la tangente en $M$ à $\mathscr{C}$ et l'axe des abscisses.
    La figure suivante illustre la situation.
    Les contraintes imposent que l'angle $\alpha$ soit inférieur à 55 degrés.
    • 1. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [1; 8]. On admet que, pour tout $x$ de l'intervalle [1; 8], $f'(x) = 10(1 - x)e^{-x}$.
      Etudier les variations de la fonction $f'$ sur l'intervalle [1; 8].
    • 2. Soit $x$ un réel de l'intervalle ]1; 8] et soit $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathscr{C}$. Justifier que tan $ \alpha = |f'(x)|$.
    • 3. Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ?

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