EXERCICE 1 (7 points)

• Partie A
  On rappelle que la partie réelle d'un nombre complexe $z$ est notée $\Re(z$).
  • 1. Déterminer l'écriture exponentielle du nombre complexe $u = 1 - i$.
  • 2. Déterminer, pour tout réel $\theta$, la forme algébrique et l'écriture exponentielle du nombre complexe $e^{i\theta} (1 - i)$.
  • 3. Déduire des questions précédentes que, pour tout réel $\theta$,
    $cos (\theta) + sin (\theta) = \sqrt 2 cos \left (\theta - \frac{\pi}{4} \right)$.
    
    
• Partie B
  Dans cette partie, on admet que, pour tout réel $\theta$, $cos(\theta) + sin(\theta) = \sqrt2cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)$.
  On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0; +$\infty$[ par: $$f(x) = e^{-x} cox(x) et g(x) = e^{-x}.$$
  On définit la fonction $h$ sur [0; + $\infty$[ par $h(x) = g(x) - f(x)$.
  Les représentations graphiques $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{C}_g$ et $\mathscr{C}_h$ des fonctions $f, g$ et $h$ sont données, en annexe, dans un repère orthogonal.
  • 1. Conjecturer:
    • a. les limites des fonctions $f$ et $g$ en $+ \infty$;
    • b. la position relative de $\mathscr{C}_f$ par rapport à $\mathscr{C}_g$;
    • c. la valeur de l'abscisse $x$ pour laquelle l'écart entre les deux courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ est maximal.
  • 2. Justifier que $\mathscr{C}_g$ est située au-dessus de $\mathscr{C}_f$ sur l'intervalle [0; $+ \infty$[.
  • 3. Démontrer que la droite d'équation $y = 0$ est asymptote horizontale aux courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
  • 4.
    • a. On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l'intervalle [0; $+ \infty$[.
      Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle [0; $+ \infty$[, $$h'(x) = e^{- x} \left[ \sqrt 2 cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1 \right].$$
    • b. Justifier que, sur l'intervalle $\left[0; \frac{\pi}{2} \right]$, $\sqrt 2 cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1\geqslant 0$ et que, sur l'intervalle $\left[ \frac{\pi}{2}; 2\pi \right]$, $\sqrt2cos\let(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1\leqslant 0$.
    • c. En déduire le tableau de variation de la fonction $h$ sur l'intevalle [0; 2$\pi$].
  • 5. On admet que, sur l'intervalle [0; $+ \infty$[, la fonction $H$ définie par $$H(x) = \frac{1}{2}e^{- x} [- 2 + cos(x) - sin(x)]
    est une primitive de la fonction $h$.
    On note $\mathscr{D}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$, et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2\pi$.
    Calculer l'aire $\mathscr{A}$ du domaine $\mathscr{D}$ , exprimée en unités d'aire.