Partie A.$f$ est une fonction définie et dérivable sur $\mathbb R$. $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.
Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on nomme $C_1$ la courbe représentative de $f$ et $C_2$ la courbe représentative de la fonction $f'$.
Le point $A$ de coordonnées (0;2) appartient à la courbe $C_1$.
Le point $B$ de coordonnées (0;1) appartient à la courbe $C_2$.
1.Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative $C_1$ de la fonction $f$.
Sur l'une d'entre elles, la courbe $C_2$ de la fonction dérivée $f'$ est tracée convenablement. Laquelle? Expliquer le choix effectué.
2.Déterminer l'équation réduite de la droite $\Delta$ tangente à la courbe $C_1$ en $A$.
3.On sait que pour tout réel $x$, $f(x)=e^{-x}+ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
a.Déterminer la valeur de $b$ en utilisant les renseignements donnés par l'énoncé.
b.Prouver que $a=2$.
4.Etudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb R$.
5.Déterminer la limite de la fonction $f$ en +$\infty$.
Partie B.Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=f(x)-(x+2)$.
1.
a.Montrer que la fonction $g$ admet 0 comme minimum sur $\mathbb R$.
b.En déduire la position de la courbe $C_1$ par rapport à la droite $\Delta$.
La figure 2 ci-dessous représente le logo d'une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s'est servi de la courbe $C_1$ et de la droite $\Delta$, comme l'indique la figure 3 ci-dessous. Afin d'estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l'aire de la partie colorée en gris.
Le contour du logo est représenté par le trapèze $DEFG$ d'où:
- $D$ est le point de coordonnées (-2;0),
- $E$ est le point de coordonnées (2;0),
- $F$ est le point d'abscisse 2 de la courbe $C_1$,
- $G$ est le point d'abscisse -2 de la courbe $C_1$.
La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite $\Delta$, la courbe $C_1$, la droite d'équation $x=-2$ et la droite d'équation $x=2$.
2.Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du logo colorée en gris
(on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ près du résultat).
1.. $C_1$ représentant $f$ est décroissante puis croissante, donc la fonction dérivée $f'$ de $f$ doit être négative puis positive,
ce qui n'est pas le cas dans la situation 3 qui est donc éliminée.
. Dans la situation 2, la fonction dérivée est représentée par une droite; ce qui suppose que $f$ est une fonction du 2° degrédont la représentation graphique
est une parabole d'axe de symétrie vertical, ce qui n'est pas le cas. La situation 2 est donc éliminée.
. La bonne situation est donc la situation 1.
2.La tangente à $C_1$ en A(0;2) a pour équation $y=f'(0) (x-0) + f(0)$ soit $y=1x+2$. (car $f'(0)$ est l'ordonnée de B, soit $f'(0)=1$).
3.
a.On obtient b avec $f(0)=2$, soit $e^0 + 2(0) + b=2 \Leftrightarrow b=1$.
b.On obtient a avec $f'(0)=1$ (voir A.2).
Or, $f'(x)=-e^{-x} +a$; donc $f'(0)=1 \Leftrightarrow -e^0 + a = 1$ $\Leftrightarrow a=2$.
Donc $f(x)=e^{-x}+2x+1$.
4.Variations de $f$.
Il suffit de résoudre $f'(x) > 0 \Leftrightarrow -e^{-x} +2 > 0 \Leftrightarrow 2 > e^{-x} \Leftrightarrow ln2 > -x \Leftrightarrow -ln2 < x \Leftrightarrow x > -ln2$.
$f$ est croissante dans [$ -ln2; + \infty$[, décroissante ailleurs.
5.$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$, car $\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$ et $\lim_{x\to+\infty}(2x+1)=+\infty$.
B.
1.
a.Il suffit de résoudre $g'(x) > 0$;
$g'(x) > 0 \Leftrightarrow f'(x) - 1 > 0 \Leftrightarrow -e^{-x} +2-1 > O \Leftrightarrow 1 > e^{-x} \Leftrightarrow ln1 > ln e^{-x} \Leftrightarrow x > 0$.
Donc $g$ est strictement croissante sur $\mathbb R_+$, strictement décroissante ailleurs. $g$ admet donc un minimum $x=0$ qui vaut $g(0)=f(0)-(0+2)=2-2=0$.
b.On a établi en B.1.a: $g(x) \geqslant 0$ pour tout x réel; donc $f(x)-(x+2) \geqslant 0$ soit $f(x) \geqslant x+2$ pour tout x réel: $C_1$ est au-dessus de $\Delta$ sur $\mathbb R$.
Accueil
Questions/Réponses
Vidéos
Avenue de la glisse
SJG Denim
Bibi mob
Emploi et nous
NQT
Un jardin chimique
Baignade avec un requin
Kenny Belaey sur une sangle
Partager une vidéo
