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Exercice

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Le sujet

  • Partie A.$f$ est une fonction définie et dérivable sur $\mathbb R$. $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.
    Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on nomme $C_1$ la courbe représentative de $f$ et $C_2$ la courbe représentative de la fonction $f'$.
    Le point $A$ de coordonnées (0;2) appartient à la courbe $C_1$.
    Le point $B$ de coordonnées (0;1) appartient à la courbe $C_2$.
    • 1.Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative $C_1$ de la fonction $f$.
      Sur l'une d'entre elles, la courbe $C_2$ de la fonction dérivée $f'$ est tracée convenablement. Laquelle? Expliquer le choix effectué.
    • 2.Déterminer l'équation réduite de la droite $\Delta$ tangente à la courbe $C_1$ en $A$.
    • 3.On sait que pour tout réel $x$, $f(x)=e^{-x}+ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
      • a.Déterminer la valeur de $b$ en utilisant les renseignements donnés par l'énoncé.
      • b.Prouver que $a=2$.
    • 4.Etudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb R$.
    • 5.Déterminer la limite de la fonction $f$ en +$\infty$.
  • Partie B.Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=f(x)-(x+2)$.
    • 1.
      • a.Montrer que la fonction $g$ admet 0 comme minimum sur $\mathbb R$.
      • b.En déduire la position de la courbe $C_1$ par rapport à la droite $\Delta$.
        La figure 2 ci-dessous représente le logo d'une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s'est servi de la courbe $C_1$ et de la droite $\Delta$, comme l'indique la figure 3 ci-dessous. Afin d'estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l'aire de la partie colorée en gris.

        Le contour du logo est représenté par le trapèze $DEFG$ d'où:
        - $D$ est le point de coordonnées (-2;0),
        - $E$ est le point de coordonnées (2;0),
        - $F$ est le point d'abscisse 2 de la courbe $C_1$,
        - $G$ est le point d'abscisse -2 de la courbe $C_1$.
        La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite $\Delta$, la courbe $C_1$, la droite d'équation $x=-2$ et la droite d'équation $x=2$.
    • 2.Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du logo colorée en gris
      (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ près du résultat).

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