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Exercice

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Le sujet

  • Partie A
    Sur le graphique ci- après, on a représenté dans un repère orthonormal , les courbes C$_1$ et C$_2$ représentatives de
    deux fonctions $f_1$ et $f_2$ définies sur l'intervalle ]0 ; + ${\infty}$[ .

    On sait que :
    _l'axe des ordonnées est asymptote aux courbes C$_1$ et C$_2$ ;
    _l'axe des abscisses est asymptote à la courbe C$_1$ ;
    _la fonction $f_2$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle ]0 ; + ${\infty}$[ ;
    _la fonction $f_1$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; + ${\infty}$[ ;
    _la limite quand x tend vers + ${\infty}$ de $f$1(x) est + ${\infty}$ .
    Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat
    indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée . Chaque réponse juste rapporte
    0,5 point . Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas sanctionnée.
    • 1. La limite, quand x tend vers 0, de $f$2(x) est :
      a.0 .
      b . +${\infty}$ .
      c. On ne peut pas conclure.
    • 2. La limite, quand x tend vers + ${\infty}$ , de $f_2$(x) est :
      a. 0 .
      b . 0,2 .
      c . On ne peut pas conclure .
    • 3. En + ${\infty}$ , C$_1$ admet une asymptote oblique :
      a. Oui.
      b . Non.
      c .On ne peut pas conclure .
    • 4. Le tableau de signes de $f_2$(x) - $f_1$(x) est :

    a.
    b.
    c.
  • Partie B
    On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0 ; + ${\infty}$[ par : ${UxE11D(x)=\ln (x)+1-\frac{1}{x}.}$
    • 1. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
    • 2. Etudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 ; + ${\infty}$[ .
    • 3. En déduire le signe de $f$(x) lorsque x décrit l'intervalle ]0 ; + ${\infty}$[ .
    • 4. Montrer que la fonction F définie sur l'intervalle ]0 ; + ${\infty}$[ par F( x ) = x ln x - ln x est une primitive de la fonction $f$ sur cet intervalle .
    • 5. Démontrer que la fonction F est strictement croissante sur l'intervalle ]1 ; + ${\infty}$[ .
    • 6. Montrer que l'équation ${F(x)=1-\frac{1}{e}}$ admet une unique solution dans l'intervalle ]1 ; + ${\infty}$[ , qu'on note $\alpha $.
    • 7. Donner un encadrement de $\alpha $ d'amplitude 10 - 1 .
  • Partie C
    Soit g et h les fonctions définies sur l'intervalle ]0 ; + ${\infty}$[ par : ${g(x)=\frac{1}{x}\ \mathit{et}h(x)=\ln (x)+1.}$
    Sur le graphique ci- après, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes C$_g$ et C$_h$ représentatives des
    fonctions g et h .

    • 1. A est le point d'intersection de la courbe Ch et de l'axe des abscisses.
      Déterminer les coordonnées du point A .
    • 2. P est le point d'intersection des courbes Cg et Ch . Justifier que les coordonnées du point P sont (1 ; 1) .
    • 3. On note A l'aire du domaine délimité par les courbes Cg , Ch et les droites d'équations respectives ${x=\frac{1}{e}}$ et
      x = 1 ( domaine grisé sur le graphique ).
      • a. Exprimer l'aire A à l'aide de la fonction $f$ définie dans la partie B .
      • b. Montrer que ${A\ =\ 1-\frac{1}{e}.}$
    • 4. Soit t un nombre réel de l'intervalle ]1 ; + ${\infty}$[ . On note $ B_t$ l'aire du domaine délimité par les droites d'équations respectives x = 1 et x = t et les courbes C$_g$ et C$_h$ ( domaine hachuré sur le graphique ).
      On souhaite déterminer une valeur de t telle que A =$ B_t$.
      • a. Montrer que$ B_t$ = t ln (t) - ln (t) .
      • b. Conclure .
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