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Le sujet

EXERCICE 1 (4 points)



Commun à tous les candidats
  • Partie A Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x) = \frac{3}{1+e^{-2x}}.\] Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal $(O, \vec i, \vec j)$, la courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = 3$.
    • 1. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
    • 2. Justifier que la droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\mathscr{C}$.
    • 3. Démontrer que l'équation $f(x) = 2,999$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$ .
      Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
  • Partie B
    Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = 3 - f(x)$.
    • 1. Justifier que la fonction $h$ est positive sur $\mathbb{R}$.
    • 2. On d ésigne par $H$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $H(x) = -\frac{3}{2} ln(1 + e^{-2x})$.
      Démontrer que $H$ est une primitive de $h$ sur$\mathbb{R}$.
    • 3. Soit $a$ un réel strictement positif.
      • a. Donner une interprétation graphique de l'intégrale $\int^a_0 h(x)dx$.
      • b. Démontrer que $\int^a_0h(x)dx = \frac{3}{2}ln \left(\frac{2}{1 + e^{-2a}}\right)$.
      • c. On note $\mathscr{D}$ l'ensemble des points $M(x; y)$ du plan défini par $\left\{\begin{array}{rcr} x&\geqslant &0 \\ f(x)&\leqslant y&\leqslant 3 \\ \end{array} \right.$
        Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine $\mathscr{D}$.

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