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Exercice

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Le sujet

  • Partie A
    On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maen fonction du temps. Le graphique ci-dessous représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.

    On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type : ${h(t)=\frac{a}{1+\mathit{be}^{-0,04t}}}$ où a et b sont des constantes réelles positives, t est la variable temps exprimée en jours et h(t) désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.
    On sait qu'initialement, pour t = 0, le plant mesure 0,1m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2m.
    Déterminer les constantes a et b afin que la fonction h corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.
  • Partie B
    On considère désormais que la croissance du plant de maest donnée par la fonction $f$ définie sur [0 ; 250] par ${f(t)=\frac{2}{1+19e^{-0,04t}}.}$
    • 1. Déterminer $f$'(t) en fonction de t ($f$' désignant la fonction dérivée de la fonction $f$).
      En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 250].
    • 2. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maatteigne une hauteur supérieure à 1,5m.
    • 3.
      • a. Vérifier que, pour tout réel t appartenant à l'intervalle [0 ; 250], on a : ${f(t)=\frac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t}+19}.}$
        Montrer que la fonction F définie sur l'intervalle [0 ; 250] par F(t) = 50 ln (e$^{0,04t}$ + 19) est une primitive de la fonction $f$.
      • b. Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [50 ; 100].
        En donner une valeur approchée à 10$^{-2}$ près et interpréter ce résultat.
    • 4. On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de ma; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction $f$.
      La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de t.
      En utilisant le graphique ci-avant, déterminer une valeur approchée de celle-ci.
      Estimer alors la hauteur du plant.

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