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Exercice

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Le sujet

  • Partie A
    On considère deux points A et D de l'espace et on désigne par $I$ le milieu du segment [AD].
    • 1. Démontrer que, pour tout point M de l'espace:
      $ {\overrightarrow{\mathit{MD}}.\overrightarrow{\mathit{MA}}=\mathit{MI}^{2}-\mathit{IA}^{2}} $
    • 2. En déduire l'ensemble (E) des points M de l'espace, tels que :

      ${\overrightarrow{\mathit{MD}}.\overrightarrow{\mathit{MA}}=0}$ .
  • Partie B
    Dans l'espace rapporté au repère orthonormal ${(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}),}$ les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives:A(3; 0; 0), B(0; 6; 0), C(0; 0; 4) et D(- 5; 0; 1).
    • 1.
      • a. Vérifier que le vecteur ${\vec{n}(4;2;3)}$ est normal au plan (ABC).
      • b. Déterminer une équation du plan (ABC).

    • 2.
      • a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ${\Delta}$ orthogonal au plan (ABC) passant par D.
      • b. En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).
      • c. Calculer la distance du point D au plan (ABC).
      • d. Démontrer que le point H appartient à l'ensemble (E) défini dans la partie A.

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