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Exercice

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Le sujet


L'espace est rapporté à un repère orthonormal ${(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}).}$
Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives: A(1; - 2; 4) B(- 2; - 6; 5) C(- 4; 0; - 3).
  • 1.
    • a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
    • b. Démontrer que le vecteur ${\vec{n}}$ (1; - 1; -1) est un vecteur normal au plan (ABC).
    • c. Déterminer une équation du plan (ABC).
  • 2.
    • a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point O et orthogonale au plan (ABC).
    • b. Déterminer les coordonnées du point O' projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC).
  • 3. On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur la droite (BC).
    Soit t le réel tel que ${\vec{\mathit{BH}}=t\vec{\mathit{BC.}}}$
    • a. Démontrer que ${t=\left(\vec{{\mathit{BO}}}.\vec{{\mathit{BC}}}\right)/\left\|\vec{{\mathit{BC}}}\right\|^{2}}$
    • b. En déduire le réel t et les coordonnées du point H.

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