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Le sujet

EXERCICE 1 (5 points)



Commun à tous les candidats
Dans l'espace, on considère une pyramide SABCE à base carée ABCE de centre O. Soit D le point de l'espace tel que $\left(0; \vec{OA}, \vec{OB},\vec{OD}\right)$ soit un repère orthonormé. Le point S a pour coordonnées (0; 0; 3) dans ce repère.
  • Partie A
    • 1. Soit U le point de la droite (SB) de cote 1. Construire le point U sur la figure jointe en $\textbf{annexe 1, (à rendre avec la copie)}$.
    • 2. Soit V le point d'intersection du plan (AEU) et de la droite (SC). Montrer que les droites (UV) et (BC) sont parallèles. Construire le point V sur la figure jointe en $\textbf{annexe 1, (à rendre avec la copie)}$.
    • 3. Soit K le point de coordonnées $\left(\frac{5}{6}; -\frac{1}{6}; 0\right)$.
      Montrer que K est le pied de la hauteur issue de U dans le trapèze AUVE.
    • Partie B
      Dans cette partie, on admet que l'aire du quadrilatère AUVE est $\frac{5\sqrt{43}}{18}$.
      • 1. On admet que le point U a pour coordonnées $\left(0; \frac{2}{3}; 1\right)$.
        Vérifier que le plan (EAU) a pour équation $3x - 3y + 5z - 3 = 0$.
      • 2. Donner une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan (EAU) passant par le point S.
      • 3. Déterminer les coordonnées de H, point d'intersection de la droite $(d)$ et du plan (EAU).
      • 4. Le plan (EAU) partage la pyramide (SABCE) en deux solides. Ces deux solides ont-ils le même volume?

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