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Exercice

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Le sujet


On se propose dans cet exercice, d'étudier des propriétés d'un solide de l'espace.
L'espace est rapporté à un repère orthonormal ${(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}).}$
On considère les points A(3; 4; 0); B(0; 5; 0) et C(0; 0; 5).
On note I le milieu du segment [AB].
  • 1. Faire une figure où l'on placera les points A, B, C, I dans le repère ${(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}).}$
  • 2. Démontrer que les triangles OAC et OBC sont rectangles et isocèles.
    Quelle est la nature du triangle ABC?
  • 3. Soit H le point de coordonnées ${\left(\frac{15}{19};\frac{45}{19};\frac{45}{19}\right)}$ .
    • a. Démontrer que les points H, C, I sont alignés.
    • b. Démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).
    • c. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
  • 4. Calculs d'aire et de volume
    • a. Calculer l'aire du triangle OAB. En déduire le volume du tétraèdre OABC.
    • b. Déterminer la distance du point O au plan (ABC).
    • c. Calculer l'aire du triangle ABC.

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