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Exercice

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Le sujet

EXERCICE 2 (3 points)



Commun à tous les candidats

Dans un repère orthonormé (O, I, J, K) d'unité 1 cm, on considère les points A(0 ; -1 ; 5), B(2 ; -1 ; 5), C(11 ; 0 ; 1), D(11 ; 4 ; 4).

Un point M se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1 cm par seconde.
Un point N se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1 cm par seconde.
À l'instant $t=0$ le point M est en A et le point N est en C.
On note $M_t$ et $N_t$ les positions des points M et N au bout de $t$ secondes, $t$ désignant un nombre réel positif.

On admet que $M_t$ et $N_t$ ont pour coordonnées: $M_t (t; -1; 5)$ et $N_t (11; 0,8 t; 1+ 0,6 t)$.

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
  • 1.
    • a. La droite (AB) est parallèle à l’un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel ?
    • b. La droite (CD) se trouve dans un plan $P$ parallèle à l’un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK). Lequel ? On donnera une équation de ce plan $P$.
    • c. Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan $P$ , coupe ce plan au point E (11 ; -1 ; 5).
    • d. Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?
  • 2.
    • a. Montrer que $M_{t} N_{t}^{2} = 2 t^{2} - 25,2 t + 138$.
    • b. À quel instant $t$ la longueur $M_{t} N_{t}$ est-elle minimale?

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