EXERCICE 2 (3 points)

Commun à tous les candidats

Dans un repère orthonormé (O, I, J, K) d'unité 1 cm, on considère les points A(0 ; -1 ; 5), B(2 ; -1 ; 5), C(11 ; 0 ; 1), D(11 ; 4 ; 4).

Un point M se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1 cm par seconde.
Un point N se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1 cm par seconde.
À l'instant $t=0$ le point M est en A et le point N est en C.
On note $M_t$ et $N_t$ les positions des points M et N au bout de $t$ secondes, $t$ désignant un nombre réel positif.

On admet que $M_t$ et $N_t$ ont pour coordonnées: $M_t (t; -1; 5)$ et $N_t (11; 0,8 t; 1+ 0,6 t)$.

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

• 1.
  • a. La droite (AB) est parallèle à l’un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel ?
  • b. La droite (CD) se trouve dans un plan $P$ parallèle à l’un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK). Lequel ? On donnera une équation de ce plan $P$.
  • c. Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan $P$ , coupe ce plan au point E (11 ; -1 ; 5).
  • d. Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?
• 2.
  • a. Montrer que $M_{t} N_{t}^{2} = 2 t^{2} - 25,2 t + 138$.
  • b. À quel instant $t$ la longueur $M_{t} N_{t}$ est-elle minimale?

Exercice 2

• 1.
  • a. Les points A et B ayant la même cote, la droite (AB) est continue dans le plan (z=5); et puisque (AB) ne coupe pas l'axe (OI) alors (AB) est parallèle à l'axe (OI).
    On peut aussi observer que (AB) a pour direction $\vec{AB}$(2 ;0 ;0 )
  • b. C et D ayant la même abscisse 11, sont contenus dans le plan(x=11); c'est le plan $P$ qui est alors parallèle à l'axe au plan de coordonnées (OJK). Une équation de $P$ est (x=11)
  • c.
    $\bullet$ E étant un point de $P$ est bien l'abscisse 11; E étant un point de (AB) est bien de cote 5.
    $\bullet$ Il reste à déterminer l'ordonnée b de E ; pour cela on exprime que le produit scalaire $\vec{AE}$.$\vec{CD}$ est nul . Avec $\vec{AE}$ (11 ; b+1 ; 0) et $\vec{CD}$ (0 ; 4 ; 3), on a :
    11(0)+ (b+1)(4) + 0 =0
    soit b=-1 .
    Conclusion, on a : E(11 ; -1 ; 5).
  • d.
    $\bullet$ Une représentation paramétrique de (CD) est donné par :
    $\vec{CN}$ = $\lambda$$\vec{CD}$ où $\vec{CD}$(0 ; 4 ; 3). Alors {x-11 = $\lambda$ (0); y-0 = $\lambda$ (4) ; z-1= $\lambda$ (3)}
    Soit {x=11 ; y=4$\lambda$ ; z= 3$\lambda$+1}.
    $\bullet$ De même une représentation paramétrique de (AB) est donnée par :
    $\vec{AM}$= $\lambda$$\vec{AB}$ ($\lambda$ paramètre réel) ; soit {x=2$\lambda$ ; y=-1 ; z= 5}.
    $\bullet$ Si (AB) et (CD) sont parallèles, alors il existe un paramètre unique réel $\lambda$ tel que {11=2$\lambda$ ; 4$\lambda$=-1; 3$\lambda$+1=5}. Or, le système donne : $\lambda$= $\frac{11}{2}$ et $\lambda$=$\frac{-1}{4}$ ce qui est impossible .
    Donc (AB) et (CD) ne sont pas sécantes.
• 2.
  • a.
    On a $M_tN_t^2$ = (11-t)$^2$ + (0,8t + 1)$^2$ + (1+0,6t-5)$^2$
    = 2t$^2$-252t+ 138.
  • b. La fonction définissant $M_tN_t^2$ étant du second degré, le minimum est atteint lorsque la fonction dérivée s'annule ; soit 4t-25,2=0 ; d'où t= $\frac{25,2}{4}$ = 6,3 secondes.