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Le sujet

EXERCICE 2 (7 points)


$\textbf {Commun à tous les candidats}$


Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0; + \infty[$ telle que: $$f(x) = \frac{x}{e^x - x}$$
On admet que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0; + \infty[$.
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal du plan.
La courbe $\mathscr{C}$ est représentée en annexe, $\textbf{à rendre avec la copie}.$
  • Partie A
    Soit la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n = \int^n_0 f(x)dx$.
    On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de $I_n$ en fonction de $n$.
    • 1. Montrer que la suite $(I_n)$ est croissante.
    • 2. On admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0; + \infty[, e^x - x \geqslant \frac{e^x}{2}$.
      • a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $I_n = \int^n_0 2xe^{- x}dx$.
      • b. Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0; + \infty[$ telle que: $$H(x) = (- x - 1)e^{- x}$$
        Déterminer la fonction dérivée $H'$ de la fonction $H$.
      • c. En déduire que, pour tout entier naturel $n, ln \leqslant 2$.
    • 3. Montrer que la suite $(I_n)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
  • Partie B
    On considère l'algorithme suivant dans lequel les variables sont
    • -- $K$ et $i$ des entiers naturels, $K$ étant non nul;
    • -- $A, x$ et $h$ des réels.
    • 1. Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $K$ = 4. Les valeurs successives de $A$ seront arrondies au millième.
    • 2. En l'illustrant sur l'annexe $\textbf{à rendre avec la copie}$, donner une interprétation graphique du résultat affiché par cet algorithme pour $K$ = 8.
    • 3. Que donne l'algorithme lorsque $K$ devient grand?

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