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Le sujet

EXERCICE 4 (5 points)



Candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Soit un cube ABCDEFGH d'arête 1.
Dans le repère $\left(A; \vec {AB}, \vec {AD}, \vec{AE}\right)$, On considère les points M, N et P de coordonnées respectives $M\left(1; 1; \frac{3}{4}\right)$, $N\left(0; \frac{1}{2}; 1\right)$, $P\left(1; 0; -\frac{5}{4}\right)$.
  • 1. Placer M, N et P sur la figure donnée en annexe.
  • 2. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{MN}$ et $\vec{MP}$.
    En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés.
  • 3. On considère l'algorithme 1 donné en annexe.
    • a. Exécuter $\textit{ à la main}$ cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P données ci-dessus.
    • b. A quoi correspond le résultat affiché par l'algorithme? Qu'en déduire pour le triangle MNP?
  • 4. On considère l'algorithme 2 donné en annexe. Le compléter pour qu'il teste et affiche si un triangle MNP est rectangle et isocèle en M.
  • 5. On considère le vecteur $\vec{n}$ (5; - 8; 4) normal au plan (MNP).
    • a. Déterminer une équation cartésienne du plan (MNP).
    • b. On considère la droite $\Delta$ passant par F et de vecteur directeur $\vec{n}$.
      Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
  • 6. Soit K le point d'intersection du plan (MNP) et de la droite $\Delta$.
    • a. Démontrer que les coordonnées du point K sont$\left(\frac{4}{7}; \frac{24}{35};\frac{23}{35}\right)$.
    • b. On donne $FK = \sqrt{\frac{27}{35}}$.
      Calculer le volume du tétraèdre MNPF.

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