Dans le plan affine, on considère ABC un triangle en A, I le milieu du segment [AB] et J le centre de gravité de ABC.
Pour tout réel m, différent de ${-{\frac{1}{3}}}$ , on note G$_m$ le barycentre du système de points pondérés: S$_m$ = (A; 1), (B; m), (C; 2m).
Pour tout point M du plan on note ${\overrightarrow{V}_{M}=3\overrightarrow{\mathit{MA}}-\overrightarrow{\mathit{MB}}-2\overrightarrow{\mathit{MC}}.}$
Pour chacune des six affirmations suivantes, dire si elle est vraie (V) ou fausse (F).
Chaque bonne réponse donne 0,5 point, chaque réponse fausse ou illisible enlève 0,25 point, l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Un éventuel total négatif serait ramené à 0.

Affirmation V ou F	V ou F
G$_1$ est le milieu [CI]	.......
G$_1$ est barycentre de ${\left\{\left(J;2\right)\left(C;\frac{2}{3}\right)\right\}}$	.......
Pour tout point M, ${\overrightarrow{{V}}_{M}=\overrightarrow{{\mathit{AB}}}+2\overrightarrow{{\mathit{AC}}}}$	.......
Pour tout m, distinct de ${\frac{-1}{3},\overrightarrow{{\mathit{AG}_{m}}}}$ est colinéaire à ${\overrightarrow{{\mathit{AG}}}_{-1}}$	.......
${\mathit{IBG}_{\frac{-1}{2}}}$ est un triangle rectangle	.......
Pour tout P de ${\left(\mathit{AG}_{-1}\right),}$ il existe un réel m tel que P = G$_m$	.......

• 1. G$_1$ est le milieu de [CI] est vraie, car G$_1$ barycentre de (A, 1), (B, 1), (C, 2)est aussi barycentre de ($I$, 2), (C, 2)(théorème d'associativité); donc G$_1$ est bien milieu de [CI].
• 2. est vraie car: $\overrightarrow{{G_{1}A}}\text{+}\overrightarrow{{G_{1}B}}\text{+}2\overrightarrow{{G_{1}C}}\text{=}\vec{0}$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{{G_{1}A}}\text{+}\overrightarrow{{G_{1}B}}\text{+}\overrightarrow{{G_{1}C}}\text{+}\overrightarrow{{G_{1}C}}\text{=}\vec{0}$ $\Rightarrow$ $3\overrightarrow{{G_{1}J}}\text{+}\overrightarrow{{G_{1}C}}\text{=}\vec{0}$ (car J est isobarycentre de (ABC)); donc $\frac{2}{3}\left(3\overrightarrow{{G_{1}J}}\text{+}\overrightarrow{{G_{1}C}}\right)\text{=}\vec{0}$ ou $2\overrightarrow{{G_{1}J}}\text{+}\frac{2}{3}\overrightarrow{{G_{1}C}}\text{=}\vec{0}.$
• 3. est fausse car ${\overrightarrow{V}_{M}=3\overrightarrow{\mathit{MA}}-\overrightarrow{\mathit{MB}}-2\overrightarrow{\mathit{MC}}.}$
  $\text{=}3\overrightarrow{{\mathit{MA}}}\text{-}\overrightarrow{{\mathit{MA}}}\text{-}\overrightarrow{{\mathit{AB}}}\text{-}2\overrightarrow{{\mathit{MA}}}\text{-}2\overrightarrow{{\mathit{AC}}}$ $\text{=}\text{-}\overrightarrow{{\mathit{AB}}}\text{-}2\overrightarrow{{\mathit{AC}}}\neq \overrightarrow{{\mathit{AB}}}\text{+}2\overrightarrow{{\mathit{AC}}}.$
• 4. est vraie; en effet G$_m$ existant (car 1 + m + 2m = 1 + 3m ${\neq}$ 0 par hypothèse), G$_m$ vérifie pour tout point M du plan $\overrightarrow{{\mathit{MG}_{m}}}\text{=}\frac{1}{1+3m}\left(1.\overrightarrow{{\mathit{MA}}}+m\overrightarrow{{\mathit{MB}}}+2m\overrightarrow{{\mathit{MC}}}\right)$ (relation désormais banale); et avec M en A: $\overrightarrow{{\mathit{AG}_{m}}}\text{=}\frac{1}{1+3m}.m\left(\overrightarrow{{\mathit{AB}}}\text{+}2\overrightarrow{{\mathit{AC}}}\right).$ En particulier avec m = - 1, $\overrightarrow{{\mathit{AG}}}_{-1}\text{=}\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{{\mathit{AB}}}\text{+}2\overrightarrow{{\mathit{AC}}}\right);$ on compare: $\overrightarrow{{\mathit{AG}_{m}}}\text{=}2\frac{m}{1\text{+}3m}\overrightarrow{{\mathit{AG}_{-1}}},$ (puisque $\left.\overrightarrow{{\mathit{AB}}}\text{+}2\overrightarrow{{\mathit{AC}}}\text{=}2\overrightarrow{{\mathit{AG}_{-1}}}\right).$ Ainsi $\overrightarrow{{\mathit{AG}_{m}}}$ est colinéaire à $\overrightarrow{{\mathit{AG}_{-1}}}.$
• 5. est vraie: avec m = $\text{-}\frac{1}{2}$ la relation habituelle s'écrit pour M = B, $\overrightarrow{{\mathit{BG}_{-1/2}}}\text{=}\frac{1}{-1/2}\left(\overrightarrow{{\mathit{BA}}}-\overrightarrow{{\mathit{BC}}}\right)\text{=}2\overrightarrow{{\mathit{AC}}};$ donc ($BG_{-1/2}$) qui est à présent parallèle à (AC), est perpendiculaire à (AB) (puisque (AC) ${\perp}$ (AB)); donc le triangle ($IBG_{- 1/2}$) est rectangle en B.
• 6. On associe le résultat 4. à l'hypothèse P${\in}$(AG$_{-1}$) qui s'écrit $\overrightarrow{{\mathit{AP}}}\text{=}k\overrightarrow{{\mathit{AG}_{-1}}}:$ P = $G_m$ si et seulement si $k\text{=}\frac{2m}{1+3m}$ (avec m ${\neq}$ - 1/3) soit k + 3 km = 2 m soit m(3k - 2) = - k. Analysons: si $k\text{=}\frac{2}{3}$ l'équation m x 0 = $\frac{-2}{3}$ n'a pas de solution; autrement dit, pour P tel que $\overrightarrow{{\mathit{AP}}}\text{=}\frac{2}{3}\overrightarrow{{\mathit{AG}_{-1}}}$ il n'existe pas m tel que P = $G_{m}$: 6. est fausse.