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Exercice

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Le sujet


Soit ABCD un tétraèdre tel que ABC, ABD et ACD soient trois triangles isocèles rectangles en A avec AB = AC= AD= a. On appelle A1 le centre de gravité du triangle BCD.
  • 1. Montrer que la droite (AA1) est orthogonale au plan (BCD). On pourra par exemple calculer ${\overrightarrow{{\mathit{AA}_{1}}}.\overrightarrow{{\mathit{CD}}}}$ .et ${\overrightarrow{{\mathit{AA}_{1}}}.\overrightarrow{{\mathit{BC}}}}$ .
  • 2. En exprimant de deux facons différentes le volume du tétraèdre ABCD, calculer la longueur du segment [AA1].
  • 3. On appelle G l'isobarycentre du tétraèdre ABCD et I le milieu de [BC].
    • a. Montrer que G appartient au segment [AA1] et déterminer la longueur AG .
    • b. Déterminer l'ensemble des points M de l'espace tels que : ${\left\|\overrightarrow{\mathit{MA}}+\overrightarrow{\mathit{MB}}+\overrightarrow{\mathit{MC}}+\overrightarrow{\mathit{MD}}\right\|=2\left\|\overrightarrow{\mathit{MB}}+\overrightarrow{\mathit{MC}}\right\|}$
  • 4. Soit H le symétrique de A par rapport à G.
    • a. Démontrer que ${4\overrightarrow{\mathit{GA}}+\overrightarrow{\mathit{AC}}+\overrightarrow{\mathit{AD}}=\overrightarrow{\mathit{BA}}}.$
    • b. Démontrer l'égalité ${\mathit{HC}^{2}-\mathit{HD}^{2}=\overrightarrow{\mathit{DC}}.\overrightarrow{\mathit{BA}}}$
    • c. En déduire que HC = HD.
      On rappelle que le volume d'une pyramide de hauteur h et d'aire de base associée b est : ${V=\frac{1}{3}\mathit{bh}}$

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