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Exercice

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Le sujet

Exercice 1 (5 points)



Commun à tous les candidats

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.

On considère les points A(0 ; 4 ; 1), B (1 ; 3 ; 0), C(2 ; −1 ; −2) et D (7 ; −1 ; 4).
  • 1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
  • 2. Soit ∆ la droite passant par le point D et de vecteur directeur $\vec{u}$ (2 ; −1 ; 3).
    • a. Démontrer que la droite ∆ est orthogonale au plan (ABC).
    • b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
    • c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆.
    • d. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite ∆ et du plan (ABC).
  • 3. Soit $P_{1}$ le plan d’équation $x$ + $y$ + $z$ = 0 et $P_{2}$ le plan d’équation $x$ +4$y$ +2 = 0.
    • a. Démontrer que les plans $P_{1}$ et $P_{2}$ sont sécants.
    • b. Vérifier que la droite d, intersection des plans $P_{1}$ et $P_{2}$, a pour représentation paramétrique
      $\left\{ \begin{array}{l} x = −4t −2\\ y = t\\ z = 3t +2 \end{array} \right.$ , t${\in}\mathbb{R}$
    • c. La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?

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