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Exercice

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Le sujet


On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. On se place dans le repère orthonormal ${(A;\overrightarrow{{\mathit{AB}}},\overrightarrow{{\mathit{AD}}},\overrightarrow{{\mathit{AE}}}).}$
On considère les points ${I\left(1;\frac{1}{3};0\right),}$ ${J\left(0;\frac{2}{3};1\right),}$ ${K\left(\frac{3}{4};0;1\right)}$ et L(a ; 1 ; 0) avec a un nombre réel dans l'intervalle [0 ;1].

Les parties A et B sont indépendantes.
  • Partie A
    • 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).
    • 2. Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique : ${\left\{\begin{matrix}x=\frac{3}{4}+t'\left(a-\frac{3}{4}\right) \\y=t'\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathit{}t'{\in}\mathbb{R}. \\z=1-t' \end{matrix}\right.}$
    • 3. Démontrer que les droites ( IJ ) et ( KL ) sont sécantes si et seulement si ${a=\frac{1}{4}.}$
  • Partie B
    Dans toute la suite de l'exercice, on pose ${a=\frac{1}{4}.}$
    Le point L a donc pour coordonnées ${\left(\frac{1}{4};1;0\right).}$
    • 1. Démontrer que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme.
    • 2. La figure ci- après fait apparal'intersection du plan ( IJK ) avec les faces du cube ABCDEFGH telle qu'elle a
      été obtenue à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.
      On désigne par M le point d'intersection du plan ( IJK ) et de la droite ( BF ), et par N le point d'intersection du plan
      ( IJK ) et de la droite ( DH ).


      Le but de cette question est déterminer les coordonnées des points M et N .
      • a. Prouver que le vecteur ${\vec{n}}$ de coordonnées (8; 9; 5) est un vecteur normal au plan ( IJK ).
      • b. En déduire que le plan ( IJK ) a pour équation 8x + 9y + 5z - 11 = 0 .

        En déduire les coordonnées des points M et N .

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